Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，D為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)D作DE∥AB，DF∥AC分別交直線AC、直線AB于點(diǎn)E、F．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，通過(guò)觀察分析線段DE、DF、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上，其它條件不變時(shí)，試猜想線段DE、DF、AB之間的數(shù)量關(guān)系（請(qǐng)直接寫(xiě)出等式，不需證明）；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)D作DE∥AB，DF∥AC分別交直線AC、直線AB和直線BC于E、F和G．試猜想線段DE、DF、DG與AB之間的數(shù)量關(guān)系（請(qǐng)直接寫(xiě)出等式，不需證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）如圖1，先根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形得出四邊形AEDF是平行四邊形，則DE=AF．再根據(jù)平行線及等腰三角形的性質(zhì)得出∠FDB=∠B，
由等角對(duì)等邊得到DF=FB，從而證明DE+DF=AF+FB=AB；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上時(shí)，分三種情況：
①當(dāng)點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2①，先證明四邊形AEDF是平行四邊形，則DE=AF，再證明∠FDB=∠FBD，由等角對(duì)等邊得到DF=FB，從而證明AB=AF-BF=DE-DF；                          
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖1，AB=DE+DF； 
③當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2②，先證明四邊形AEDF是平行四邊形，則DF=AE，再證明∠CDE=∠DCE，由等角對(duì)等邊得到CE=DE，再證明從而證明AB=AC=AE-CE=DF-DE；                            
（3）如圖3，先證明四邊形AEDF是平行四邊形，則DF=AE，再證明∠EGC=∠C，由等角對(duì)等邊得到DE+DG=CE，從而證明AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF．

解答：解：（1）DE+DF=AB．理由如下：
如圖1．∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∴DE=AF．
∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C，
∵AB=AC，∴∠C=∠B，
∴∠FDB=∠B，
∴DF=FB，
∴DE+DF=AF+FB=AB；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上時(shí)，分三種情況：
①當(dāng)點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2①，AB=DE-DF；                          
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖1，AB=DE+DF； 
③當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2②，AB=DF-DE；                            

（3）如圖3，AB=DE+DG+DF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．（2）中分情況討論是解題的關(guān)鍵．