【題目】已知如圖,以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點(diǎn)E,連接EO并延長交BC的延長線于點(diǎn)D,點(diǎn)F為BC的中點(diǎn),連接EF.

(1)求證:EF是⊙O的切線;

(2)若⊙O的半徑為3,∠EAC=60°,求AD的長.

【答案】(1)證明見解析;(2AD=

【解析】試題分析:(1)連接FO,由FBC的中點(diǎn),AO=CO,得到OF∥AB,由于AC⊙O的直徑,得出CE⊥AE,根據(jù)OF∥AB,得出OF⊥CE,于是得到OF所在直線垂直平分CE,推出FC=FE,OE=OC,再由∠ACB=90°,即可得到結(jié)論.

2)證出△AOE是等邊三角形,得到∠EOA=60°,再由直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果.

試題解析:(1)如圖1,連接FO

∵FBC的中點(diǎn),AO=CO,

∴OF∥AB,

∵AC⊙O的直徑,

∴CE⊥AE,

∵OF∥AB,

∴OF⊥CE

∴OF所在直線垂直平分CE,

∴FC=FEOE=OC

∴∠FEC=∠FCE,∠0EC=∠0CE,

∵∠ACB=90°,

即:∠0CE+∠FCE=90°

∴∠0EC+∠FEC=90°,

即:∠FEO=90°

∴FE⊙O的切線;

2)如圖2∵⊙O的半徑為3,

∴AO=CO=EO=3

∵∠EAC=60°,OA=OE,

∴∠EOA=60°,

∴∠COD=∠EOA=60°

Rt△OCD中,∠COD=60°,OC=3

∴CD=,

Rt△ACD中,∠ACD=90°,

CD=AC=6,

∴AD=

練習(xí)冊(cè)系列答案
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