Question

當(dāng)x依次取1，2，3，…，2009，

1

2

，

1

3

，

1

4

，…，

1

2009

時(shí)，代數(shù)式

x2

1+x2

的值的和等于

 

．

Answer 1

分析：因?yàn)楫?dāng)x=

1

k

時(shí)和當(dāng)x=k時(shí)，分別代入代數(shù)式

x2

1+x2

，再把它們所得的和相加的1.2，3，…，2009，

1

2

，

1

3

，

1

4

，…，

1

2009

恰好分別對(duì)應(yīng)互為相反數(shù)，從而問題的得解．

解答：解：∵當(dāng)x=

1

k

時(shí)，

x2

1+x2

=

1

1+k2

，
當(dāng)x=k時(shí)，

x2

1+x2

=

k 2

1+k2

，
故這兩值相加得：

1

1+k 2

+

k 2

1+k2

=1，
∴當(dāng)x依次取1，2，3，…2009，

1

2

，

1

3

，

1

4

，…，

1

2009

時(shí)，
原式=

1

2

+

4

5

+

9

10

+…+

2009 2

1+2009 2

+

1

5

+

1

10

+…+

1 2009 2

1+ 1 2009 2

，
=

1

2

+（

4

5

+

1

5

）+（

9

10

+

1

10

）+…+（

2009 2

1+2009 2

+

1 2009 2

1+ 1 2009 2

），
=

1

2

+1+1+…1，
=2008

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查因式分解在分式化簡中的運(yùn)用，在化簡中注意不同的分式相加是一個(gè)常數(shù)．