Question

【題目】如圖1，拋物線過點(diǎn)軸上的和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)該物上限一點(diǎn)，且．

（1）拋物線的解析式為：____________；

（2）如圖2，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，求點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中線段長(zhǎng)度的最大值；

（3）如圖3，若，在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）根據(jù)，易知點(diǎn)C(0,3),將點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入中，即可得到b，c的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）先根據(jù)B,C坐標(biāo)確定直線BC的解析式為，設(shè),則，則PD的長(zhǎng)度為，結(jié)合x的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求PD長(zhǎng)度的最大值；

（3）首先由，OB=OC,易知∠BCP=∠OCB=45° ，得到PC//OB,設(shè)直線BQ與y軸交于點(diǎn)G,結(jié)合條件證得△CPB≌△CGB，得到CG=CP=2，得到點(diǎn)G的坐標(biāo)，利用B，G得到直線BQ的解析式，再與拋物線的解析式聯(lián)立方程組，從而求得交點(diǎn)Q的坐標(biāo)并說明了其存在.

解：（1）∵，易知點(diǎn)C(0,3), 將點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入中得到 ，解得，∴拋物線的解析式為：.

（2）由，得B（3，0）

設(shè)直線BC的解析式為

將點(diǎn)代入得

∴直線BC的解析式為

設(shè)點(diǎn)，則

∴

.

∴當(dāng)時(shí)，PD有最大值.

（3）存在

∵，點(diǎn)P在第一象限，∴

∵B（3，0），C（0，3）

∴OC=OB

∴△BOC是等腰直角三角形

∴∠OBC=∠OCB=45°

∴∠BCP=∠OCB=45°，∴CP∥OB，∴P（2，3）

設(shè)BQ與y軸交于點(diǎn)G

在△CPB和△CGB中：

，∴△CPB≌△CGB（ASA）

∴CG=CP=2

∴OG=1

∴點(diǎn)G（0，1），

設(shè)直線BQ：

將點(diǎn)B（3，0）代入，∴，

∴直線BQ：，

聯(lián)立直線BQ和二次函數(shù)解析式

解得：或（舍去）

.