【題目】如圖,已知菱形ABCD中,∠BAD=60°,點E、F分別是AB、AD上兩個動點,若AE=DF,連接BF與DE相交于點G,連接CG,與BD相交于H。
(1)求∠BGE的大小;(2)求證:GC平分∠BGD.
【答案】(1)∠BGE=60°;(2)見解析.
【解析】
(1)由題意可證△ADB是等邊三角形,可得AD=AB=BD,∠DAB=∠ADB=∠ABD,由“SAS”可證△ADE≌△DBF,可得∠ADE=∠DBF,由三角形外角性質(zhì)可求∠BGE的大。
(2)過點C作CN⊥BF于點N,過點C作CM⊥ED于點M,由“AAS”可證Rt△CBN≌Rt△CDM,可得CM=CN,由角平分線的性質(zhì)可得結(jié)論.
(1)∵ABCD為菱形,
∴AB=AD.
∵∠BAD=60°,
∴△ABD為等邊三角形.
∴∠A=∠BDF=60°.
又∵AE=DF,AD=BD,
∴△AED≌△DFB;
∴∠DBG=∠ADE
∴∠EGB=∠DBG+∠BDG=∠ADE+∠BDG=∠ADB=60°
(2)如圖,過點C作CN⊥BF于點N,過點C作CM⊥ED于點M,
由(1)得∠ADE=∠DBF
∴∠CBF=60°+∠DBF
=60°+∠ADE
=∠DEB
又∠DEB=∠MDC
∴∠CBF=∠CDM
∵BC=CD,∠CBF=∠CDM,∠CMD=∠CNG=90°
∴Rt△CBN≌Rt△CDM(AAS)
∴CN=CM,且CN⊥BF,CM⊥ED
∴點C在∠BGD的平分線上
即GC平分∠BGD.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,過點B(6,0)的直線AB與直線OA相交于點A(4,2),動點M在線段OA和射線AC上運動.
(1)求直線AB的解析式.
(2)求△OAC的面積.
(3)是否存在點M,使△OMC的面積是△OAC的面積的?若存在求出此時點M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交CB、DC(或它們的延長線)于點M、N.當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(如圖1),易證BM+DN=MN.
(1)當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(如圖2),線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出猜想.并加以證明.
(2)當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3位置時,線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想,并加以證明.
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【題目】如圖,兩個形狀,大小完全相同的含有30°,60°的三角板如圖①放置,PA,PB與直線MN重合,且三角板PAC與三角板PBD均可繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)。
(1)試說明:∠DPC=90°;
(2)如圖②,若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)一定度數(shù),PF平分,PE平分,求。
(3)如圖③,若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)速為3。/s。同時三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)速為2。/s,在兩個三角板旋轉(zhuǎn)過程中(PC轉(zhuǎn)到與PM重合時,三角板都停止轉(zhuǎn)運),問的值是否變化?若不變,求出其值,若變化,說明理由。
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【題目】如圖,在直角三角形ABC中(∠C=90°),放置邊長分別為3,4,x的三個正方形,則x的值為( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 12
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【題目】某校課外小組為了解同學(xué)們對學(xué)校“陽光跑操”活動的喜歡程度,抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.被調(diào)查的每個學(xué)生按A(非常喜歡)、B(比較喜歡)、C(一般)、D(不喜歡)四個等級對活動評價.圖1和圖2是該小組采集數(shù)據(jù)后繪制的兩幅統(tǒng)計圖.經(jīng)確認(rèn)扇形統(tǒng)計圖是正確的,而條形統(tǒng)計圖尚有一處錯誤且并不完整.請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)此次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為___;
(2)條形統(tǒng)計圖中存在錯誤的是___(填A. B.C中的一個),并在圖中加以改正;
(3)在圖2中補(bǔ)畫條形統(tǒng)計圖中不完整的部分;
(4)如果該校有600名學(xué)生,那么對此活動“非常喜歡”和“比較喜歡”的學(xué)生共有多少人?
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【題目】甲乙兩人參加某項體育訓(xùn)練,近期五次測試成績得分情況如圖所示:
(1)分別求出兩人得分的平均數(shù);
(2)誰的方差較大?
(3)根據(jù)圖表和(1)的計算,請你對甲、乙兩人的訓(xùn)練成績作出評價.
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【題目】數(shù)學(xué)課上,王老師布置如下任務(wù):
如圖1,△ABC中,BC>AB>AC,在BC邊上取一點P,使∠APC=2∠ABC.
小路的作法如下,如圖2:
①作AB邊的垂直平分線,交BC于點P;
②連結(jié)AP.
所以,∠APC=2∠ABC.
小路的作圖依據(jù)是_____.
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【題目】為了解七年級學(xué)生的身體素質(zhì)情況,體育老師對該年級部分學(xué)生進(jìn)行了一分鐘跳繩次數(shù)的測試,并把測試成績繪制成如圖所示的頻數(shù)表和頻數(shù)直方圖(每組含前一個邊界值,不含后一個邊界值).
(1)參加測試的學(xué)生有多少人?
(2)求,的值,并把頻數(shù)直方圖補(bǔ)充完整.
(3)若該年級共有名學(xué)生,估計該年級學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)不少于次的人數(shù).
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