Question

如圖，在銳角三角形ABC中，AB上的高CE與AC上的高BD相交于點H，以DE為直徑的圓分別交AB、AC于F、G兩點，FG與AH相交于點K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的長．

Answer 1

考點：四點共圓,等腰三角形的性質,直角三角形斜邊上的中線,圓周角定理,圓內接四邊形的性質,平行線分線段成比例,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：延長AH交BC于P，連接DF，根據圓內接四邊形的性質可得∠AFG=∠ADE=∠ABC，從而有GF∥BC，根據平行線分線段成比例可得

AK

AP

=

AF

AB

，要求AK的長，只需求出AP、AF、AB長．運用勾股定理可求出CD及CE的長，易證△ADB∽△AEC，根據相似三角形的性質可求出AD、AE的長，在Rt△AEC中依據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求出DE長，在△DAE中根據等腰三角形的性質可求出AF的長，然后用面積法可得到AP=CE，問題得以解決．

解答：解：延長AH交BC于P，連接DF，如圖．
由題知∠ADB=∠CDB=∠CEB=∠AEC=90°，
∵BC=25，BD=20，BE=7，
∴CD=15，CE=24．
又∵∠DAB=∠EAC，∠ADB=∠AEC，
∴△ADB∽△AEC，
∴

AD

AE

=

BD

CE

=

AB

AC

，①
由①得：

AD AE = 5 6 AE+7 AD+15 = 5 6

，
解得

AD=15 AE=18

，
∵∠AEC=90°，AD=CD=15，
∴DE=

1

2

AC=15．
∵點F在以DE為直徑的圓上，
∴∠DFE=90°，
∵DA=DE，
∴AF=EF=

1

2

AE=9．
∵∠CDB=∠CEB=90°，
∴D、E、B、C四點共圓，
∴∠ADE=∠ABC．
∵G、F、E、D四點共圓，
∴∠AFG=∠ADE，
∴∠AFG=∠ABC，
∴GF∥BC．
∴

AK

AP

=

AF

AB

．②
∵H是△ABC的垂心，∴AP⊥BC，
∴S_△ABC=

1

2

AB•CE=

1

2

BC•AP，
∵BA=BC=25，
∴AP=CE=24，
由②得AK=

AF•AP

AB

=

9×24

25

=8.64．

點評：本題考查了四點共圓的判定、圓內接四邊形的性質、圓周角定理、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、勾股定理等知識，綜合性比較強，有一定的難度，證到GF∥BC從而得到

AK

AP

=

AF

AB

是解決本題的關鍵．