Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與直線y=kx+b交于A（3，0）、C（0，3）兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q（2，-1）．點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與A不重合），過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸，交直線AC于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，PD的長(zhǎng)度為l，求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求l取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在問(wèn)題（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問(wèn)是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為Q（2，-1），
∴設(shè)y=a（x-2）²-1，將C（0，3）代入，得：
3=a（0-2）²-1，
解得：a=1．
∴y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3；

（2）∵直線y=kx+b過(guò)（3，0），（0，3），則：

3k+b=0 b=3

，
解得：

k=-1 b=3

，
∴AB的解析式為：y=-x+3．
由題意有P（t，t²-4t+3），D（t，-t+3），
∴PD=l=（-t+3）-（t²-4t+3）=-t²+3t，
∴當(dāng)t=

3

2

時(shí)，l取最大值，
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為[

3

2

，（

3

2

）²-4×（

3

2

）+3]，
即P（

3

2

，-

3

4

）．

（3）①若AP是平行四邊形的一條邊時(shí)，平移直線AP（如圖）交x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F．
此時(shí)當(dāng)AP=FE時(shí)，四邊形PAFE是平行四邊形．
∵P（

3

2

，-

3

4

），
∴可令F（x，

3

4

）或F（x，-

3

4

）．
∴x²-4x+3=

3

4

或x²-4x+3=-

3

4

，
解之得x₁=

4- 7

2

，x₂=

4+ 7

2

，x₃=

5

2

，x₄=

3

2

．
但當(dāng)x₁=

3

2

時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)與P點(diǎn)重合，不能構(gòu)成平行四邊形．
滿足條件的F點(diǎn)有三個(gè)，即F₁（

4- 7

2

，

3

4

）、F₂（

4+ 7

2

，

3

4

）、F₃（

5

2

，-

3

4

）；
②當(dāng)AP是平行四邊形的一條對(duì)角線時(shí)，要使以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形，
則有PF∥AE，即F₂的縱坐標(biāo)與P點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，即x²-4x+3=-

3

4

，
此種情況在①中已求得F₃的坐標(biāo)．
綜上所述，滿足條件的F點(diǎn)的坐標(biāo)有三個(gè)，
即F₁（

4- 7

2

，

3

4

）、F₂（

4+ 7

2

，

3

4

）、F₃

5

2

（，-

3

4

）．