【題目】小明在學習過程中遇到這樣一個問題:如圖1,在△ABC中,CA=CB,ECD上一點,且ED=EB, ∠DEB=∠ACB,連接AD,探究∠ADC與∠DCB之間的數(shù)量關系.小明發(fā)現(xiàn),∠ACD=∠CBE,CA=CB,因此可以通過作∠CAF=∠BCECD于點F構造全等,經(jīng)過推理論證解決問題.

1)按照小明思考問題的方法,解決問題;

2)如圖2,∠ACB=90,CA=CBDAB上一點,過點DDEABAC于點E,過點EEMCD于點M,BNCD于點N,探究EM,BN,CD之間的數(shù)量關系.

【答案】1)∠DCB=2ADC,證明詳見解析;(2BN= CD+EM,理由詳見解析.

【解析】

1)∠DCB=2ADC,作∠CAF=∠BCECD于點F,證明△ACF≌△CBE,根據(jù)全等三角形的性質可得AF=CE,CF=BE,∠AFC=DCB,再證得AF=DF,根據(jù)等腰三角形的性質可得∠ADF=DAF,由三角形外角的性質即可證得結論;(2BN= CD+EM,過點AAHCDCD的延長線于點H(如圖2),先證得RtACHRtCBN,根據(jù)全等三角形的性質可得CH=BN,再證得RtADHRtDEM,根據(jù)全等三角形的性質可得EM=DH,由BN= CD+DH= CD+EM.即可證得結論.

1)∠DCB=2ADC,理由如下,

如圖1,作∠CAF=∠BCECD于點F,

∵∠DEB=∠EBC+ECB,∠ACB=ACF+ECB,∠DEB=ACB,

∴∠ACF=CBE,

在△ACF和△CBE中,

∴△ACF≌△CBE

AF=CE,CF=BE,∠AFC=DCB,

DE=EB,

DE=CF,

DF=CE,

AF=CE

AF=DF,

∴∠ADF=DAF,

∴∠AFC=ADF+DAF=2ADC,

∵∠AFC=DCB

∴∠DCB=2ADC.

2BN= CD+EM,理由如下:

過點AAHCDCD的延長線于點H(如圖2),

AHCD,BNCD,

∴∠AHC=CNB=90°,

∴∠CBN+NCB=90°,

∵∠ACH+NCB=90°,

∴∠CBN=ACH,

RtACHRtCBN中,

,

RtACHRtCBN,

CH=BN

∵∠ACB=90,CA=CB,

∴∠EDA=45°,

DEAB,

∴△AED為等腰直角三角形,

AD=DE,

AHCD,EMCD,

∴∠AHD=DME=90°,

∴∠DAH+ADH=90°,

∵∠ADH+EDM=90°,

∴∠DAH=EDM

RtADHRtDEM中,

,

RtADHRtDEM,

EM=DH,

CH=CD+DHCH=BN,

BN= CD+DH= CD+EM.

練習冊系列答案
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日期

1

2

3

4

5

6

7

人數(shù)變化

單位:萬人

+1.2

+0.4

+0.8

0.4

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+0.2

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