Question

無論k取任何實數(shù)，對于直線y=kx都會經(jīng)過一個固定的點（0，0），我們就稱直線y=kx恒過定點（0，0）．
（1）無論m取任何實數(shù)，拋物線y=mx²-（1+3m）x+2恒過定點A（x₀，y₀），直接寫出定點A的坐標；
（2）已知△ABC的一個頂點是（1）中的定點A（x₀＞0），且∠B，∠C的角平分線分別是y軸和直線y=x，求邊BC所在直線的表達式；
（3）求△ABC內切圓的半徑．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）無論m為任何實數(shù)拋物線y=mx²-（1+3m）x+2恒過定點A（x₀，y₀），也就是說整理后m的系數(shù)等于0；
（2）由已知條件易求點A（x₀＞0）坐標，因為∠B，∠C的角平分線所在直線分別是y軸和直線y=x，所以點B、點C在點A關于y軸、直線y=x的對稱點所確定的直線上．
作點A關于y軸的對稱點D（-3，-1），作點A關于直線y=x的對稱點E（-1，3），設直線BC的表達式為y=kx+b，把D，E點的坐標代入求出k和b的值即可；
（3）過點O作OF⊥BC于F，則OF即為△ABC內切圓的半徑，設BC與x軸交點為點G，易知G(-

5

2

 ， 0)，B（0，5），由三角形的面積為的值即可求出內切圓的半徑．

解答：解：（1）∵y=mx²-（1+3m）x+2=mx²-x-3mx+2，
=（x²-3x）m-x+2，
∴若要無論m取任何實數(shù)，拋物線y=mx²-（1+3m）x+2恒過定點A（x₀，y₀），則x²-3x=0，
∴x=0或3，
∴點A的坐標為（0，2），（3，-1）．

（2）∵△ABC的一個頂點是（1）中的定點A（x₀＞0），
∴A（3，-1）．
∵∠B，∠C的角平分線所在直線分別是y軸和直線y=x，
∴點B、點C在點A關于y軸、直線y=x的對稱點所確定的直線上．
作點A關于y軸的對稱點D（-3，-1），作點A關于直線y=x的對稱點E（-1，3）．
直線DE與y軸的交點即為點B，與直線y=x的交點即為點C．連接AB，AC．
設直線BC的表達式為y=kx+b．
則有

3=-k+b -1=-3k+b.

解之，得

k=2 b=5.

所以，y_BC=2x+5．

（3）∵∠B，∠C的角平分線所在直線分別是y軸和直線y=x，y軸和直線y=x的交點O即為△ABC內切圓的圓心．
過點O作OF⊥BC于F，則OF即為△ABC內切圓的半徑．
設BC與x軸交點為點G，易知G(-

5

2

 ， 0)，B（0，5）．
∴BG=

5 5

2

．
∵S△BOG=

1

2

•OB•OG=

1

2

•GB•OF，
∴OF=

5

，即△ABC內切圓的半徑為

5

．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、三角形內切圓的性質、三角形的面積公式運用、軸對稱的性質以及新定義的問題，題目的綜合性較強，對學生的綜合解題能力要求很高．