Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對(duì)稱軸上，⊙M的半徑為．設(shè)⊙M與y軸交于D，拋物線的頂點(diǎn)為E．

（1）求m的值及拋物線的解析式；

（2）設(shè)∠DBC=α，∠CBE=β，求sin（α﹣β）的值；

（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專題】壓軸題；開放型．

【分析】（1）根據(jù)題意與圖象可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)圓的性質(zhì)可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱軸方程與點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求得函數(shù)的解析式；

（2）由拋物線的解析式可求得點(diǎn)A，E，B，C，D的坐標(biāo)，判斷Rt△BOD∽R(shí)t△BCE，得∠CBE=∠OBD=β，因此sin（α﹣β）=sin（∠DBC﹣∠OBD）=sin∠OBC=；

（3）顯然Rt△COA∽R(shí)t△BCE，此時(shí)點(diǎn)P₁（0，0），

過A作AP₂⊥AC交y正半軸于P₂，由Rt△CAP₂∽R(shí)t△BCE，得P₂（0，），

過C作CP₃⊥AC交x正半軸于P₃，由Rt△P₃CA∽R(shí)t△BCE，得P₃（9，0），

故在坐標(biāo)軸上存在三個(gè)點(diǎn)P₁（0，0），P₂（0，），P₃（9，0），使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似．

【解答】解：（1）由題意可知C（0，﹣3），﹣=1，

∴拋物線的解析式為y=ax²﹣2ax﹣3（a＞0），

過M作MN⊥y軸于N，連接CM，則MN=1，CM=，

∴CN=2，于是m=﹣1．

同理可求得B（3，0），

∴a×3²﹣2a×3﹣3=0，得a=1．

∴拋物線的解析式為y=x²﹣2x﹣3．

 

（2）由（1）得A（﹣1，0），E（1，﹣4），B（3，0），C（0，﹣3）．

∵M(jìn)到AB，CD的距離相等，OB=OC，

∴OA=OD，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），

∴在Rt△BCO中，BC==3，

∴，

在△BCE中，∵BC²+CE²=（3²+3²）+[（1﹣0）²+（﹣4+3）²]=20=（3﹣1）²+（0+4）²=BE²∴△BCE是Rt△

，

∴，

即，

∴Rt△BOD∽R(shí)t△BCE，得∠CBE=∠OBD=β，

因此sin（α﹣β）=sin（∠DBC﹣∠OBD）=sin∠OBC=．

 

（3）顯然Rt△COA∽R(shí)t△BCE，此時(shí)點(diǎn)P₁（0，0）．

過A作AP₂⊥AC交y正半軸于P₂，

由Rt△CAP₂∽R(shí)t△BCE，得P₂（0，）．

過C作CP₃⊥AC交x正半軸于P₃，由Rt△P₃CA∽R(shí)t△BCE，得P₃（9，0）．

故在坐標(biāo)軸上存在三個(gè)點(diǎn)P₁（0，0），P₂（0，），P₃（9，0），

使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)與圓的知識(shí)的綜合應(yīng)用，要注意分析圖形，應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)與判定，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．