Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的負(fù)半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3．過原點(diǎn)O作∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，連接DC，過點(diǎn)D作DE⊥DC，交OA于點(diǎn)E．
（1）求過點(diǎn)C、D、E的拋物線的解析式；
（2）將∠CDE繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)F，另一邊與線段OC交于點(diǎn)G．如果EF=2OG，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)G，在位于第四象限內(nèi)的（1）中拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得直線GQ與AB的交點(diǎn)P與點(diǎn)C、G構(gòu)成的△PCG是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),正方形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題,分類討論

分析：（1）先根據(jù)條件求出點(diǎn)C、D、E的坐標(biāo)，然后再運(yùn)用待定系數(shù)法就可解決問題．
（2）過點(diǎn)D作DH⊥x軸于H，易證四邊形OADH是正方形，從而可以證到△DHG≌△DAF．設(shè)OG=x（x＞0），則AF=HG=2-x．由EF=2OG可以求出x，從而得到點(diǎn)G的坐標(biāo)．
（3）由于等腰三角形△PCG的腰不確定，可分GP=GC，CP=CQ，PC=PG三種情況討論，先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求出直線GP與拋物線的交點(diǎn)就可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖1，
∵四邊形OABC是矩形，OA=2，OC=3，
∴BC=OA=2，AB=OC=3．∠OAB=∠ABC=∠BCO=∠AOC=90°．
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=45°．
∴∠AD0=45°=∠AOD．
∴AD=AO=2．
∴DB=AB-AD=1．
∵DE⊥DC，
∴∠EDC=90°．
∴∠EDA=90°-∠BDC=∠BCD．
∴△EAD∽△DBC．
∴

AE

DB

=

AD

BC

．
∴

AE

1

=

2

2

．
∴AE=1．
∴OE=1．
∴C（3，0）、D（2，-2）、E（0，-1）．
設(shè)過點(diǎn)C、D、E的拋物線的解析式為y=ax²+bx-1．
則

9a+3b-1=0 4a+2b-1=-2

．
解得：

a= 5 6 b=- 13 6

．
∴過點(diǎn)C、D、E的拋物線的解析式為y=

5

6

x²-

13

6

x-1．

（2）由EF=2OG可知點(diǎn)F應(yīng)在點(diǎn)A下方，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于H，如圖2，
則有∠OHD=90°．
∵∠OHD=∠HOA=∠OAD=90°，OA=AD，
∴四邊形OADH是正方形．
∴DA=DH，∠ADH=90°．
∵∠GDF=90°，
∴∠HDG=90°-∠GDA=∠ADF．
在△DHG和△DAF中，

∠HDG=∠ADF DH=AD ∠GHD=∠FAD

∴△DHG≌△DAF．
設(shè)OG=x（x＞0），則AF=HG=2-x．
∵EF=2OG=2x，
∴EF=AE+AF=1+2-x=2x．
解得：x=1．
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，0）．

（3）①若GP=GC，如圖3①，
則GP=2=OA．
必有GP⊥OC．（否則GP＞OA）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2）．
此時(shí)x_Q=1，y_Q=

5

6

×1²-

13

6

×1-1=-

7

3

，
則有Q（1，-

7

3

）．
②若CP=CG，如圖3②，
則CP=2=CB．
∴點(diǎn)P與點(diǎn)B重合．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-2）．
設(shè)直線PQ的解析式為y=mx+n，
則

m+n=0 3m+n=-2

．
解得；

m=-1 n=1

．
∴直線PQ的解析式為y=-x+1．
聯(lián)立

y=-x+1 y= 5 6 x2- 13 6 x-1

．
解得：

x= 12 5 y=- 7 5

或

x=-1 y=2

．
∵點(diǎn)Q在第四象限，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

12

5

，-

7

5

）．
③若PG=PC，如圖3③，
則點(diǎn)P在GC是垂直平分線上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-2），此時(shí)點(diǎn)P、點(diǎn)Q、點(diǎn)D重合．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，-2）．
綜上所述：當(dāng)△PCG是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-

7

3

）、（

12

5

，-

7

5

）、（2，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及一次函數(shù)的解析式、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、拋物線與直線的交點(diǎn)等知識(shí)，還考查了分類討論的思想，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．