Question

【題目】若一個兩位數(shù)十位、個位上的數(shù)字分別為，我們可將這個兩位數(shù)記為，易知；同理，一個三位數(shù)、四位數(shù)等均可以用此記法，如．

（基礎(chǔ)訓(xùn)練）

（1）解方程填空：

①若，則______；

②若，則______；

③若，則______；

（能力提升）

（2）交換任意一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字，可得到一個新數(shù)，則一定能被______整除，一定能被______整除，+++6一定能被______整除；（請從大于5的整數(shù)中選擇合適的數(shù)填空）

（探索發(fā)現(xiàn)）

（3）北京時間2019年4月10日21時，人類拍攝的首張黑洞照片問世，黑洞是一種引力極大的天體，連光都逃脫不了它的束縛．數(shù)學(xué)中也存在有趣的黑洞現(xiàn)象：任選一個三位數(shù)，要求個、十、百位的數(shù)字各不相同，把這個三位數(shù)的三個數(shù)字按大小重新排列，得出一個最大的數(shù)和一個最小的數(shù)，用得出的最大的數(shù)減去最小的數(shù)得到一個新數(shù)（例如若選的數(shù)為325，則用532-235=297），再將這個新數(shù)按上述方式重新排列，再相減，像這樣運算若干次后一定會得到同一個重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)，這個數(shù)稱為“卡普雷卡爾黑洞數(shù)”．

①該“卡普雷卡爾黑洞數(shù)”為______；

②設(shè)任選的三位數(shù)為（不妨設(shè)），試說明其均可產(chǎn)生該黑洞數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）①2．②4；③7；（2）11；9；10．；（3）①495；②495

【解析】

(1)①根據(jù)，結(jié)合已知可得關(guān)于x的方程，解方程即可得；

②根據(jù)題意可得關(guān)于y的方程，解方程即可得；

③由及四位數(shù)的類似公式可得關(guān)于t的方程，解方程即可得；

(2)根據(jù)分別對、、按此表示方法進行整理即可求得答案；

(3)①若選的數(shù)為325，則用532-235=297，然后根據(jù)題中所給的規(guī)則繼續(xù)計算即可求得答案；

②當任選的三位數(shù)為時，根據(jù)規(guī)則第一次運算后得，結(jié)果為99的倍數(shù)，由于，故，繼而確定出a-c=2，3，4，5，6，7，8，9，從而可得第一次運算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，對這些數(shù)字根據(jù)規(guī)則繼而進行運算即可求得答案.

(1)①∵，

∴若，則，

∴，

故答案為：2；

②若，則，

解得，

故答案為：4；

③由及四位數(shù)的類似公式得

若，

則，

∴100t=700，

∴，

故答案為：7；

(2)∵，

∴則一定能被 11整除，

∵，

∴一定能被9整除，

∵

，

∴一定能被10整除，

故答案為：11；9；10；

(3)①若選的數(shù)為325，則用532-235=297，以下按照上述規(guī)則繼續(xù)計算，

，

，

，

，

故答案為：495；

②當任選的三位數(shù)為時，第一次運算后得：

，

結(jié)果為99的倍數(shù)，由于，故，

∴，又，

∴，

∴，3，4，5，6，7，8，9，

∴第一次運算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，

再讓這些數(shù)字經(jīng)過運算，分別可以得到：

，，，，…故都可以得到該黑洞數(shù)495．