Question

8．如圖，已知拋物線經過A（1，0），B（0，3）兩點，對稱軸是直線x=-1．
（1）求拋物線對應的函數關系式；
（2）點N在線段OA上，點M在線段OB上，且OM=2ON，過點N作x軸的垂線交線段AB于點Q，交拋物線于點P．
①當ON為何值時，四邊形OMPN為矩形；
②△AOQ能否為等腰三角形？若能，求出此時ON的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）可設頂點式，根據待定系數法可求拋物線對應的函數關系式；
（2）①當四邊形OMPN為矩形時，滿足條件OM=PN，據此列一元二次方程求解；
②△AOQ為等腰三角形時，可能存在三種情形，需要分類討論，逐一計算．

解答 解：（1）根據題意，設拋物線的解析式為：y=a（x+1）²+k，
∵點A（1，0），B（0，3）在拋物線上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+k=0}\\{a+k=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{k=4}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為：y=-（x+1）²+4；

（2）①設ON=t（0＜t＜1）．
則OM=2t，PN=-（t+1）²+4，
∵四邊形OMPN為矩形，
∴OM=PN，即2t=-（t+1）²+4，
整理得：t²+4t-3=0，
解得t=$\sqrt{7}$-2，由于t=-$\sqrt{7}$-2＜0，故舍去，
∴當ON=$\sqrt{7}$-2時，四邊形OMPN為矩形；
②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，
∴tanA=3．
若△AOQ為等腰三角形，有三種情況：

（I）若OQ=AQ，如答圖1所示：
則N為OA中點，ON=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，
∴ON=$\frac{1}{2}$；
（II）若OQ=OA，如答圖2所示：
設AN=x，則QD=AD•tanA=3x，ON=OA-AN=1-x，
在Rt△QON中，由勾股定理得：ON²+QN²=OQ²，
即（1-x）²+（3x）²=1²，解得x₁=$\frac{1}{5}$，x₂=0（舍去），
∴x=$\frac{1}{5}$，ON=1-x=$\frac{4}{5}$，
∴ON=$\frac{4}{5}$；
（III）若OA=AQ，如答圖3所示：
設AN=x，則QD=AN•tanA=3x，
在Rt△AQN中，由勾股定理得：QN²+AN²=AQ²，
即x²+（3x）²=1²，解得x₁=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，x₂=-$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$（舍去），
∴ON=1-x=1-$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴ON=1-$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
綜上所述，當ON為$\frac{1}{2}$、$\frac{4}{5}$、（1-$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$）時，△AOQ為等腰三角形．

點評 本題考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性質、等腰三角形的性質等知識點，綜合性比較強，有一定的難度．第（2）問為運動型與存在型的綜合性問題，注意要弄清動點的運動過程，進行分類討論計算．