Question

11．如圖，在等邊△ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的動點，滿足AD=2BE，將線段DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得線段EF，求證：CF平分∠ACB．

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AB與BC的關(guān)系，∠B與∠ACB的關(guān)系，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得DE與DF的關(guān)系，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠FEM和∠BDE的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠FME與∠B的關(guān)系，F(xiàn)M與BE的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠MCF與∠MFC的關(guān)系，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠MCF的大�。�

解答 證明：如圖，
，
截取CM=BE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，AB=BC．
∵AD=2BE=2CM．
∴BD=EM．
∵DE旋轉(zhuǎn)60°得EF，
∴DE=EF，∠DEF=60°．
∵∠DEM是△BDE的外角，
∴∠DEM=∠B+∠BDE．
∵∠DEM=∠DEF+∠FEM．
∴∠BDE=∠MEF．
在△BDE和△MEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=EM}\\{∠BDE=∠MEF}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△MEF（SAS），
∴∠EMF=∠B=60°，MF=BE．
∵MC=BE，
∴MC=MF，
∴∠MFC=∠MCF．
∵∠FME是△MFC的外角，
∴∠MCF+∠MFC=2∠MCF=∠FME=60°，
∴∠MCF=30°=$\frac{1}{2}$∠MCA，
∴CF平分∠ACB．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出DE與DF的關(guān)系，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出∠FME與∠B的關(guān)系是解題關(guān)鍵，又利用了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．