Question

9．如圖，△ABC與△DBC均為等邊三角形，BC=2，將△DBC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α角，得△DEF，BE交AF于O．
（1）用α表示∠FEO；
（2）求證：AO=OF；
（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到使∠DAE最大時，直接寫出△AEF的面積為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)DB，如圖2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)得∠BDE=α，DB=DE，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和和可計算出∠DEB=∠DBE=90°-$\frac{1}{2}$α，而∠DEF=60°，于是利用平角定義可得到∠FEO=30°+$\frac{1}{2}$α；
（2）作FM∥AB交BO的延長線于M，如圖2，先計算出∠ABO=∠ABD-∠DBE=30°+$\frac{1}{2}$α，則∠ABO=∠FEO，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABO=∠M，則∠M=∠FEM，所以FE=FM，然后證明△ABO≌△FMO得到AO=FO；
（3）點E在以點D為圓心，DB為半徑的圓上，所以當(dāng)AE于⊙D相切時，∠DAE，連結(jié)AD，如圖3，由切線性質(zhì)得DE⊥AE，利用等邊三角形的性質(zhì)可計算出AD=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，DE=BC=2，接著利用勾股定理計算出AE=2$\sqrt{2}$，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

解答 （1）解：連結(jié)DB，如圖2，
∵△DBC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α角，得△DEF，
∴∠BDE=α，DB=DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴∠DEB=∠DBE=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∵△DEF為等邊三角形，
∴∠DEF=60°，
∴∠FEO=180°-（90°-$\frac{1}{2}α$）-60°=30°+$\frac{1}{2}$α；
（2）證明：作FM∥AB交BO的延長線于M，如圖2，
∵∠ABO=∠ABD-∠DBE=120°-（90°-$\frac{1}{2}$α）=30°+$\frac{1}{2}$α，
∴∠ABO=∠FEO，
∵AB∥MF，
∴∠ABO=∠M，
∴∠M=∠FEM，
∴FE=FM，
∵FE=BC=AB，
∴FM=AB，
在△ABO和△FMO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠FOM}\\{∠ABO=∠M}\\{AB=FM}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△FMO，
∴AO=FO；
（3）點E在以點D為圓心，DB為半徑的圓上，
所以當(dāng)AE于⊙D相切時，∠DAE，連結(jié)AD，如圖3，則DE⊥AE，
AD=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，DE=BC=2，
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
所以此時△AEF的面積=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．
故答案為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形證明OA=FO．