Question

【題目】如圖1，已知點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（0，﹣2），AD與y軸交于點(diǎn)E，且E為AD的中點(diǎn)，雙曲線y=經(jīng)過C，D兩點(diǎn)且D（a，4）、C（2，b）．

（1）求a、b、k的值；

（2）如圖2，線段CD能通過旋轉(zhuǎn)一定角度后點(diǎn)C、D的對應(yīng)點(diǎn)C′、D′還能落在y=的圖象上嗎？如果能，寫出你是如何旋轉(zhuǎn)的，如果不能，請說明理由；

（3）如圖3，點(diǎn)P在雙曲線y=上，點(diǎn)Q在y軸上，若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，試求滿足要求的所有點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）能. 當(dāng)C、D繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)180°時，C’、D’落在圖像上或點(diǎn)C、D關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)在圖像上；

（3）P1（1，4），Q1（0，6） P2（-1，-4），Q2（0，-6） P3（-1，-4），Q3（0，2）

【解析】試題（1）如圖1，過點(diǎn)D做DP⊥y軸于點(diǎn)P，由△PDE≌△OAE（ASA），PD=OA，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，即可解決問題；（2）能，點(diǎn)C、D繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)180度時，點(diǎn)C′、D′落在圖象上．或點(diǎn)C、D關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)在圖象上；（3）分兩種情形分別求解①當(dāng)AB為邊時，如圖1中，若四邊形ABPQ為平行四邊形，則；如圖2中，若四邊形ABQP是平行四邊形時，AP=BQ，且AP∥BQ，求點(diǎn)P坐標(biāo)，即可解決問題；②如圖3中，當(dāng)AB為對角線時，AP=BQ，AP∥BQ，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，即可解決問題．

試題解析：（1）如下圖，過點(diǎn)D作DP⊥y軸交y軸于點(diǎn)P或過點(diǎn)D作x軸垂線

∵ E為AD的中點(diǎn)

∴ AE=DE

又∵ DP⊥y軸，∠AOE=90°，∠DPE=∠AEO，

∴△PDE≌△OAE(AAS)

∴ PD=OA

∵ A(-1，0)

∴ PD=1

∴ D點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）

∵ 點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖像上

∴k=xy=1×4=4

∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖像上,C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，b)

∴即：

∴a=1,k=4,b=2

（2）能. 當(dāng)C、D繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)180°時，C’、D’落在圖像上

或點(diǎn)C、D關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)在圖像上

（3）∵由（1）知k=4，

∴反比例函數(shù)的解析式為，

∵點(diǎn)P在雙曲線上，點(diǎn)Q在y軸上，

∴設(shè)Q（0，y），P（），

①當(dāng)AB為邊時：如下圖所示：

若ABPQ為平行四邊形，則

解得x=1，此時P1（1，4），Q1（0，6）

如下圖所示：

若ABQP為平行四邊形，則，解得x=-1

此時P2（-1，-4），Q2（0，-6）

②如下圖所示：

當(dāng)AB為對角線時：AP=BQ，且AP∥BQ；

∴，解得x=-1

∴ P3（-1，-4），Q3（0，2）

故 P1（1，4），Q1（0，6） P2（-1，-4），Q2（0，-6） P3（-1，-4），Q3（0，2）