Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S．
求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=﹣x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)此拋物線的函數(shù)解析式為：

y=ax2+bx+c（a≠0），

將A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點(diǎn)代入函數(shù)解析式得：

解得 ，

所以此函數(shù)解析式為：y=

（2）解：∵M(jìn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)M在這條拋物線上，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（m， ），

∴S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB

= ×4×（﹣ m2﹣m+4）+ ×4×（﹣m）﹣ ×4×4

=﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8

=﹣m2﹣4m，

=﹣（m+2）2+4，

∵﹣4＜m＜0，

當(dāng)m=﹣2時(shí)，S有最大值為：S=﹣4+8=4．

答：m=﹣2時(shí)S有最大值S=4

（3）解：設(shè)P（x， x2+x﹣4）．

當(dāng)OB為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知PQ∥OB，且PQ=OB，

∴Q的橫坐標(biāo)等于P的橫坐標(biāo)，

又∵直線的解析式為y=﹣x，

則Q（x，﹣x）．

由PQ=OB，得|﹣x﹣（ x2+x﹣4）|=4，

解得x=0，﹣4，﹣2±2 ．

x=0不合題意，舍去．

如圖，當(dāng)BO為對(duì)角線時(shí)，知A與P應(yīng)該重合，OP=4．四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4，Q橫坐標(biāo)為4，代入y=﹣x得出Q為（4，﹣4）．

由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2 ，2﹣2 ）或（﹣2﹣2 ，2+2 ）或（4，﹣4）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法，把ABC三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求出；（2）最值問題的基本解決策略就是函數(shù)思想，設(shè)出M的橫坐標(biāo)為m，作為自變量，△AMB的面積為S為函數(shù)，由已知得S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB，分別用m的代數(shù)式表示各三角形面積，構(gòu)建出二次函數(shù)，運(yùn)用配方法求出最大值；（3）可分類討論：OB為邊，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知PQ∥OB，且PQ=OB，構(gòu)建方程|﹣x﹣（ 1 2 x2+x﹣4）|=4；當(dāng)BO為對(duì)角線時(shí)，A與P應(yīng)該重合，OP=4．四邊形PBQO為平行四邊形，則BQ=OP=4，進(jìn)而求出坐標(biāo).