Question

12．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在邊BC，DC上，BE=DF，∠EAF=60°，點(diǎn)G在DC上，且∠AGC=120°，EG平分∠AGC，連接AG．
（1）若AE=2，求EC的長．
（2）求證：AG=EG+FG．

Answer 1

分析 （1）首先證明△AEF是等邊三角形，再證明△EFC是等腰直角三角形即可解決問題．
（2）在AG上取點(diǎn)M，使GM=GE，連接EM．先證明△MEG是等邊三角形，再證明△AEM≌△FEG即可解決問題．

解答 （1）解：連接EF，
∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=AD=DC=BC，
∠B=∠D=∠C=90°
且BE=DF
∴△ABE≌△ADF．
∴AE=AF．
且∠EAF=60°
∴△AEF是等邊三角形．
∴AE=EF=2
又∵CE=BC-BE，CF=DC-DF
∴CE=CF．
∴△ECF是等腰直角三角形．
∴EC=$\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$；

（2）證明：在AG上取點(diǎn)M，使GM=GE，連接EM．
∵EG平分∠AGC，且∠AGC=120°．
∴∠AGE=60°．
∴△EGM是等邊三角形．
∴EM=EG=GM，∠MEG=∠EMG=∠MGE=60°．
又∵∠AEM+∠MEF=60°，∠GEF+∠MEF=60°
∴∠AEM=∠GEF，∠AME=∠EGF=120°，
在△AEM和△FEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠EGF}\\{EM=EG}\\{∠AEM=∠FEG}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△FEG．
∴AM=GF
∵AG=AM+GM．
∴AG=FG+EG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．