Question

求方程

1

x

+

1

y

=

1

1993

的整數(shù)解的個數(shù)

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：非一次不定方程（組）

專題：

分析：利用已知條件將方程

1

x

+

1

y

=

1

1993

變形，整理為（x-1993）（y-1993）=1993²，分析兩數(shù)相乘所有的可能，找出符合題意的解的個數(shù)．

解答：解：∵

1

x

+

1

y

=

1

1993

，
去分母得：1993（x+y）=xy，
∴（x-1993）（y-1993）=1993²，
又∵x與y是正整數(shù)，
∴x-1993，y-1993都是整數(shù)，且都大于-1993，
∵現(xiàn)在兩整數(shù)之積為1993²，
∴這兩整數(shù)為同號，且至少有一個的絕對值不小于1993，
∴x-1993與y-1993必都是1993²的正約數(shù)，
∴方程

1

x

+

1

y

=

1

1993

的正整數(shù)解（x，y）可寫成（1993+d，1993+

19932

d

），這里d為1993²的正約數(shù)，
∵1993²的正約數(shù)有3個，
當(dāng)x=3986時，y=3986，
當(dāng)x=1994時，y=3974042，
當(dāng)x=3974042時，y=1994，
∴其他數(shù)據(jù)都在不符合要求，符合要求的只有三組，
∴方程

1

x

+

1

y

=

1

1993

的正整數(shù)解構(gòu)成的個數(shù)共3個．
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題考查了非一次不定方程，解答本題的關(guān)鍵是將方程整理為整式方程后再進(jìn)行分析解決，在解這類方程組，要認(rèn)真分析題中各個方程的結(jié)構(gòu)特征，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解，難度較大．