Question

【題目】已知等邊△AOB的邊長(zhǎng)為4，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）若直線y＝kx（k＞0）與線段AB有交點(diǎn)，求k的取值范圍；

（3）若點(diǎn)C在x軸正半軸上，以線段AC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△ACD，求直線BD的解析式．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2）；（2）0＜k≤；（3）y＝x﹣4

【解析】

（1）如下圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，則AD＝OAsin∠AOB＝4sin60°＝2，同理OA＝2，即可求解；

（2）若直線y＝kx（k＞0）與線段AB有交點(diǎn)，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線的表達(dá)式得：2k＝2，解得：k＝，即可求解；

（3）證明△ACO≌△ADB（SAS），而∠DBC＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即可求解．

解：（1）如下圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，

則AD＝OAsin∠AOB＝4sin60°＝，

同理OA＝2，

故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2）；

（2）若直線y＝kx（k＞0）與線段AB有交點(diǎn)，

當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線的表達(dá)式得：2k＝2，解得：k＝，

直線OB的表達(dá)式為：y＝0，而k＞0，

故：k的取值范圍為：0＜k≤；

（3）如下圖所示，連接BD，

∵△OAB是等邊三角形，∴AO＝AB，

∵△ADC為等邊三角形，∴AD＝AC，

∠OAC＝∠OAB+∠CAB＝60°+∠CAB＝∠DAC+∠CAB＝∠DAB，

∴△ACO≌△ADB（SAS），

∴∠AOB＝∠ABD＝60°，

∴∠DBC＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

故直線BD表達(dá)式的k值為tan60°=，

設(shè)直線BD的表達(dá)式為：y＝x+b，

將點(diǎn)B（4，0）代入上式得

解得：b＝﹣4，

故：直線BD的表達(dá)式為：y＝x﹣4．