Question

已知直線y=-

4

3

x+4與x軸和y軸分別交與B、A兩點(diǎn)，另一直線經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)D（11，6）．
（1）求AB、BD的長(zhǎng)度，并證明△ABD是直角三角形；
（2）在x軸上找點(diǎn)C，使△ACD是以AD為底邊的等腰三角形，求出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）一動(dòng)點(diǎn)P速度為1個(gè)單位/秒，沿A--B--D運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)停止，另有一動(dòng)點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度沿D--B--A運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)停止，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，PQ的長(zhǎng)度為y（單位長(zhǎng)），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令x=0，y=0分別求解即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得到AB、BD，過點(diǎn)D作DH⊥y軸于H，然后求出DH、AH，再利用勾股定理列式計(jì)算求出AD，然后根據(jù)勾股定理逆定理證明即可；
（2）設(shè)OC=x，根據(jù)等腰三角形兩腰相等利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）求出點(diǎn)P、Q相遇時(shí)的t值，然后分點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)P、Q都在BD上重合前和重合后兩種情況，點(diǎn)Q在AB上四種情況討論求解．

解答：解：（1）令x=0，y=4，
令y=0，則-

4

3

x+4=0，
解得x=3，
所以，A（0，4），B（3，0），
由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=5，
BD=

(11-3)2+62

=10，
過點(diǎn)D作DH⊥y軸于H，DH=11，AH=2，
由勾股定理得，AD=

AH2+DH2

=

22+112

=

125

，
∵AB²=25，BD²=100，
∴AB²+BD²=AD²，
∴△ABD是直角三角形；

（2）設(shè)OC長(zhǎng)為x，由等腰三角形以及勾股定理得到x²+4²=（11-x）²+6²，
解得x=

141

22

，
所以，C（

141

22

，0）；

（3）設(shè)t秒時(shí)相遇，由題意得，t+t=5+10，
解得t=7.5，
點(diǎn)P在AB上時(shí)，0≤t≤5，PB=5-t，BQ=10-t，
PQ=

PB2+BQ2

=

(5-t)2+(10-t)2

=

2t2-30t+125

，
點(diǎn)P、Q都在BD上重合前，5＜t≤7.5，PQ=5+10-t-t=15-2t，
重合后，7.5＜t≤10，PQ=t+t-5-10=2t-15，
點(diǎn)Q在AB上時(shí)，10＜t≤15，PB=t-5，BQ=t-10，
PQ=

PB2+BQ2

=

(t-5)2+(t-10)2

=

2t2-30t+125

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解方法，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（3）要分情況討論．