【題目】(問題情境)

徐老師給愛好學(xué)習(xí)的小敏和小捷提出這樣一個(gè)問題:

如圖1,△ABC中,∠B=2∠C,AD∠BAC的平分線.求證:AB+BD=AC

小敏的證明思路是:在AC上截取AE=AB,連接DE.(如圖2

小捷的證明思路是:延長CB至點(diǎn)E,使BE=AB,連接AE. 可以證得:AE=DE(如圖3

請(qǐng)你任意選擇一種思路繼續(xù)完成下一步的證明.

(變式探究)

“AD∠BAC的平分線改成“ADBC邊上的高,其它條件不變.(如圖4),AB+BD=AC成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,寫出你的正確結(jié)論,并說明理由.

(遷移拓展)

△ABC中,∠B=2∠C. 求證:AC2=AB2+ABBC. (如圖5

【答案】見解析

【解析】

試題問題情境:小敏的證明思路是:在AC上截取AE=AB,由角平分線的性質(zhì)就可以得出∠DAB=∠DAE,再證明△ADB≌ADE就可以得出結(jié)論;小捷的證明思路是:延長CB至點(diǎn)E,使BE=AB,連接AE.就可以得出∠E=∠C,就有AE=AC,進(jìn)而得出AE=ED即可;

變式探究:CD上截取DE=DB,連結(jié)AE,由AD⊥BC就可以得出AE=AB,∠AED=∠B,由∠AED=∠C+∠CAE就有∠C=∠CAE得出AE=EC,進(jìn)而得出結(jié)論;

遷移拓展:過點(diǎn)AAD⊥BCD.由勾股定理得:AB2=BD2+AD2,AC2=CD2+AD2AC2AB2=CD2BD2=BCCDBD),由(2)的結(jié)論就可以得出AC2AB2=BCCDBD=BCAB即可.

解:?jiǎn)栴}情境:小敏的證明思路是:如圖2,在AC上截取AE=AB,連接DE.(如圖2

∵AD∠BAC的平分線,

∴∠BAD=∠EAD

△ABD△AED中,

,

∴△ABD≌△AEDSAS),

∴BD=DE,∠ABD=∠AED

∵∠AED=∠EDC+∠C∠B=2∠C,

∴∠EDC=∠C

∴DE=EC,

AB+BD=AC

小捷的證明思路是:如圖3,延長CB至點(diǎn)E,使BE=AB,連接AE

∴∠E=∠BAE

∵∠ABC=∠E+∠BAE,

∴∠ABC=2∠E

∵∠ABC=2∠C,

∴∠E=∠C,

∴△AEC是等腰三角形.

∵AD∠BAC的平分線,

∴∠BAD=∠DAC

∵∠ADE=∠DAC+∠C,∠DAE=∠BAD+∠BAE

∴∠ADE=∠DAE,

∴EA=ED=AC,

∴AB+BD=AC;

變式探究:

AB+BD=AC不成立 正確結(jié)論:AB+BD=CD…5分)

理由:如圖4,在CD上截取DE=DB,連結(jié)AE,

∵AD⊥BC,

∴ADBE的中垂線,

∴AE=AB,

∴∠B=∠AED

∵∠AED=∠C+∠CAE,且∠B=2∠C,

∴∠C=∠CAE,

∴AE=EC

AB+BD=CD

遷移拓展:

證明:如圖5,過點(diǎn)AAD⊥BCD.由勾股定理得:AB2=BD2+AD2,AC2=CD2+AD2,

∴AC2AB2=CD2BD2=CD+BD)(CDBD=BCCDBD

∵AB+BD=CD

∴CDBD=AB

∴AC2AB2=BCCDBD=BCAB,

AC2=AB2+ABBC

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求每輛A,B兩種自行車的進(jìn)價(jià)分別是多少?

(2)現(xiàn)在商城準(zhǔn)備一次購進(jìn)這兩種自行車共100輛,設(shè)購進(jìn)A型自行車m輛,這100輛自行車的銷售總利潤為y元,要求購進(jìn)B型自行車數(shù)量不超過A型自行車數(shù)量的2倍,總利潤不低于13 000元,求獲利最大的方案以及最大利潤.

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(1)求拋物線y2的解析式;

(2)如圖2,在直線l上是否存在點(diǎn)T,使TAC是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出所有點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;

(3)點(diǎn)P為拋物線y1上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)Py軸的平行線交拋物線y2于點(diǎn)Q,點(diǎn)Q關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為R,若以P,Q,R為頂點(diǎn)的三角形與AMG全等,求直線PR的解析式.

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(1)請(qǐng)你畫出A′B′C′A″B″C′(不要求寫畫法).

(2)求出線段A′C′在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積.(結(jié)果保留)

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(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí),求證DE=EB;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部時(shí),猜想EDEB數(shù)量關(guān)系,并加以證明;

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在△ABC外部時(shí),EHAB于點(diǎn)H,過點(diǎn)EGEAB,交線段AC的延長線于點(diǎn)G,AG=5CG,BH=3.求CG的長.

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A. B. 4 C. D. 5

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3)如果這兩批干果每千克售價(jià)相同,且全部售完后總利淘不低于25%,那么每千克干果的售價(jià)至少是多少元?

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