【題目】如圖1,拋物線y1=ax2﹣x+c與x軸交于點A和點B(1,0),與y軸交于點C(0,),拋物線y1的頂點為G,GM⊥x軸于點M.將拋物線y1平移后得到頂點為B且對稱軸為直線l的拋物線y2.
(1)求拋物線y2的解析式;
(2)如圖2,在直線l上是否存在點T,使△TAC是等腰三角形?若存在,請求出所有點T的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)點P為拋物線y1上一動點,過點P作y軸的平行線交拋物線y2于點Q,點Q關(guān)于直線l的對稱點為R,若以P,Q,R為頂點的三角形與△AMG全等,求直線PR的解析式.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.
【解析】
(1)應(yīng)用待定系數(shù)法求解析式;
(2)設(shè)出點T坐標,表示△TAC三邊,進行分類討論;
(3)設(shè)出點P坐標,表示Q、R坐標及PQ、QR,根據(jù)以P,Q,R為頂點的三角形與△AMG全等,分類討論對應(yīng)邊相等的可能性即可.
(1)由已知,c=,
將B(1,0)代入,得:a﹣=0,
解得a=﹣,
拋物線解析式為y1=x2- x+,
∵拋物線y1平移后得到y2,且頂點為B(1,0),
∴y2=﹣(x﹣1)2,
即y2=-x2+ x-;
(2)存在,
如圖1:
拋物線y2的對稱軸l為x=1,設(shè)T(1,t),
已知A(﹣3,0),C(0,),
過點T作TE⊥y軸于E,則
TC2=TE2+CE2=12+()2=t2﹣t+,
TA2=TB2+AB2=(1+3)2+t2=t2+16,
AC2=,
當TC=AC時,t2﹣t+=,
解得:t1=,t2=;
當TA=AC時,t2+16=,無解;
當TA=TC時,t2﹣t+=t2+16,
解得t3=﹣;
當點T坐標分別為(1,),(1,),(1,﹣)時,△TAC為等腰三角形;
(3)如圖2:
設(shè)P(m,),則Q(m,),
∵Q、R關(guān)于x=1對稱
∴R(2﹣m,),
①當點P在直線l左側(cè)時,
PQ=1﹣m,QR=2﹣2m,
∵△PQR與△AMG全等,
∴當PQ=GM且QR=AM時,m=0,
∴P(0,),即點P、C重合,
∴R(2,﹣),
由此求直線PR解析式為y=﹣x+,
當PQ=AM且QR=GM時,無解;
②當點P在直線l右側(cè)時,
同理:PQ=m﹣1,QR=2m﹣2,
則P(2,﹣),R(0,﹣),
PQ解析式為:y=﹣;
∴PR解析式為:y=﹣x+或y=﹣.
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【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,BF⊥AD,AD的延長線交BF于E,且E為垂足,則結(jié)論①AD=BF,②CF=CD,③AC+CD=AB,④BE=CF,⑤BF=2BE,其中正確的結(jié)論的個數(shù)是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
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【題目】把圖中陰影部分的小正方形移動一個,使它與其余四個陰影部分的正方形組成一個既是軸對稱又是中心對稱的新圖形,這樣的移法,正確的是( 。
A. 6→3 B. 7→16 C. 7→8 D. 6→15
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【題目】如圖1,二次函數(shù)y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的右側(cè)),與y軸的正半軸交于點C,頂點為D.
(1)求頂點D的坐標(用含a的代數(shù)式表示);
(2)若以AD為直徑的圓經(jīng)過點C.
①求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
②如圖2,點E是y軸負半軸上一點,連接BE,將△OBE繞平面內(nèi)某一點旋轉(zhuǎn)180°,得到△PMN(點P、M、N分別和點O、B、E對應(yīng)),并且點M、N都在拋物線上,作MF⊥x軸于點F,若線段MF:BF=1:2,求點M、N的坐標;
③點Q在拋物線的對稱軸上,以Q為圓心的圓過A、B兩點,并且和直線CD相切,如圖3,求點Q的坐標.
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【題目】如圖,折疊矩形ABCD的一邊AD,使點D落在BC邊的點F處.
(1)如圖1,若折痕,且,求矩形ABCD的周長;
(2)如圖2,在AD邊上截取DG=CF,連接GE,BD,相交于點H,求證:BD⊥GE.
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【題目】在正方形ABCD中,點E是AD的中點,連接BE,BF平分∠EBC交CD于點F,交AC于點G,將△CGF沿直線GF折疊至△C′GF,BD與△C′GF相交于點M、N,連接CN,若AB=6,則四邊形CNC′G的面積是_____.
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【題目】(問題情境)
徐老師給愛好學習的小敏和小捷提出這樣一個問題:
如圖1,△ABC中,∠B=2∠C,AD是∠BAC的平分線.求證:AB+BD=AC
小敏的證明思路是:在AC上截取AE=AB,連接DE.(如圖2)…
小捷的證明思路是:延長CB至點E,使BE=AB,連接AE. 可以證得:AE=DE(如圖3)…
請你任意選擇一種思路繼續(xù)完成下一步的證明.
(變式探究)
“AD是∠BAC的平分線”改成“AD是BC邊上的高”,其它條件不變.(如圖4),AB+BD=AC成立嗎?若成立,請證明;若不成立,寫出你的正確結(jié)論,并說明理由.
(遷移拓展)
△ABC中,∠B=2∠C. 求證:AC2=AB2+ABBC. (如圖5)
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【題目】(1)在圖(1)中編號①②③④的四個三角形中,關(guān)于y軸對稱的兩個三角形的編號為_________;關(guān)于x軸對稱的兩個三角形的編號為___________;
(2)在圖(2)中,畫出ΔABC關(guān)于x軸對稱的圖形ΔA1B1C1。
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