Question

如圖1，已知雙曲線y₁=

k

x

（k＞0）與直線y₂=k′x交于A、B兩點，其中點A在第一象限．試解答下列問題：

（1）若點A的坐標為（3，2），則點B的坐標為

 

；當x滿足

 

時，y₁＜y₂；
（2）如圖2，過點O另作一直線l，交雙曲線于P、Q兩點，且點P在第一象限內．
①四邊形APBQ的形狀一定是

 

；
②若點A的坐標為（3，1），點P的橫坐標為1，求四邊形APBQ的面積；
③設點A、P的橫坐標分別為x₁、x₂，是否存在這樣的直線PQ，使得∠APB為直角？若存在，求x₁、x₂應滿足的條件；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）待定系數(shù)法即可求得雙曲線和直線的解析式，然后解方程組即可求得交點坐標，根據(jù)雙曲線的性質結合圖象即可判斷出x的取值，
（2）①點A與點B，點P與點Q關于原點對稱，由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可證明APBQ是平行四邊形．②平行四邊形的對角線把它分成四個面積相等的三角形，所以只要求出△AOP的面積，再將其乘以4就可以得到四邊形APBQ的面積③根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可知，當x₁ x₂=k時OP=OA，此時APBQ是矩形，進而得出∠APB為直角；

解答：解：（1）∵雙曲線y₁=kx（k＞0）經(jīng)過A（3，2）點，
∴2=

k

3

，解得：k=6，
∴雙曲線解析式為：y=6x，
∵直線y₂=k′x經(jīng)過A（3，2），
∴2=3k′，解得：k′=

2

3

，
∴直線AB為：y=

2

3

x，
解

y= 6 x y= 2 3 x

得

x=3 y=2

或

x=-3 y=-2

∴B（-3，-2）；
∵雙曲線在每一象限y隨x的增大而減小，直線y隨x的增大而增大，
∴根據(jù)圖象可知，-3＜x＜0，或x＞3時，y1＜y2；

（2）①∵AB、PQ是中心對稱圖形，
∴AO=OB，PO=OQ
∴四邊形APBQ是平行四邊形；
②∵A點的坐標是（3，1）
∴雙曲線為y=

3

x

，
∵點P的橫坐標為1，
∴P點坐標為（1，3），
過A作x軸的垂線CD交x軸于C，可得直角梯形OPDC，過P作PD⊥DC，垂足為D，
∴D（3，3），
∵S梯形=

1

2

（PD+OC）•DC=

1

2

（2+3）×3=

15

2

，S△APD=

1

2

PD•AD=

1

2

×2×2=2，S△OAC=

1

2

OC•AC=

1

2

×3×1=

3

2

，
∴S△AOP=S梯形-S△APD-S△OAC=4，
∴S平行四邊形=4S△AOP=16．

③∵當x1•x2=k時，此時A（x1，x2），P（x2，x1），
∴OA=OP，對角線相等且平分的四邊形是矩形，
∴四邊形APBQ是矩形，
∴∠APB為直角．

點評：本題考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質及對函數(shù)的性質靈活運用，同時也訓練了平行四邊形和矩形的相關性質，點A與點B關于原點對稱的知識，本題考點清晰，難度不大，但數(shù)形結合能比較綜合的考查學生的分析能力．