Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），對角線AC、BD交于點O，∠BOC=60°且E、F分別為OA、OB的中點，M為CD的中點，求證：△EFM是等邊三角形．

Answer 1

考點：等腰梯形的性質,等邊三角形的判定,三角形中位線定理

專題：證明題

分析：連接DE、CF，如圖，先根據等腰梯形的性質得AB=DC，OA=OD，OB=OC，再由∠BOC=60°可判斷△OBC和△OAD都為等邊三角形，則根據等腰三角形的性質由
E、F分別為OA、OB的中點得到DE⊥OA，CF⊥OB，接著根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EM=

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CD，FM=

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2

CD；然后利用三角形中位線性質得到EF=

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2

AB=

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2

CD，所以EF=EM=FM，于是可判斷△EFM為等邊三角形．

解答：證明：連接DE、CF，如圖，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），
∴AB=DC，OA=OD，OB=OC，
∵∠BOC=60°，
∴△OBC和△OAD都為等邊三角形，
∵E、F分別為OA、OB的中點，
∴DE⊥OA，CF⊥OB，
在Rt△CDE中，∵點M為斜邊CD的中點，
∴EM=

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CD，
同理可得FM=

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2

CD，
∵E、F分別為OA、OB的中點，
∴EF為△OAB的中位線，
∴EF=

1

2

AB，
∴EF=

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CD，
∴EF=EM=FM，
∴△EFM為等邊三角形．

點評：本題考查了等腰梯形的性質：等腰梯形是軸對稱圖形，它的對稱軸是經過上下底的中點的直線；等腰梯形同一底上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等．也考查了等邊三角形的判定與性質、三角形中位線性質和直角三角形斜邊上的中線性質．