如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,AB=AD,∠BAD=100°,∠BCD=30°,證明:AC=BC.
考點(diǎn):全等三角形的判定與性質(zhì),等腰梯形的判定
專(zhuān)題:證明題
分析:作等邊△BCE,分別延長(zhǎng)BA,CE交于F,連結(jié)BD,ED,F(xiàn)D,求出∠ABD=∠ADB=∠DBC=40°,∠ABE=∠DBE=20°,∠BCD=∠ECD=30°,∠BFC=40°,根據(jù)SAS證△BCD≌△ECD,推出BD=ED,∠CED=∠CBD=40°,求出四邊形FBDE為等腰梯形,推出DF=BE=BC,F(xiàn)E=BD=ED求出∠BFD=∠FDE=∠DFE=
1
2
∠DEC=20°,F(xiàn)A=FD=CB,根據(jù)SAS證△FAD≌△CBA,推出CA=FD即可.
解答:證明:如圖,作等邊△BCE,分別延長(zhǎng)BA,CE交于F,連結(jié)BD,ED,F(xiàn)D,
∵AD∥BC,AD=AB,∠BAD=100°,∠BCD=30°,
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC=40°,
∵∠EBC=∠BCE=∠BEC=60°,
∴∠ABE=∠DBE=20°,∠BCD=∠ECD=30°,∠BFC=40°,
在△BCD和△ECD中,
BC=CE
∠BCD=∠ECD
CD=CD
,
∴△BCD≌△ECD(SAS),
∴BD=ED,∠CED=∠CBD=40°,
∴∠BED=∠EBD=∠FBE,
∴FB∥ED
∵∠BFE=∠FBD,
∴四邊形FBDE為等腰梯形,
∴DF=BE=BC,F(xiàn)E=BD=ED
∴∠BFD=∠FDE=∠DFE=
1
2
∠DEC=20°,
∵∠FAD=∠ABC=80°
∴∠ADF=80°=∠FAD
∴FA=FD=CB
在△FAD與△CBA中,
FA=CB
∠FAD=∠CBA
AD=BA
,
∴△FAD≌△CBA(SAS)
∴CA=FD
∴AC=BC.
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,梯形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)和判定,平行線的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的推理能力,題目比較好,難度偏大.
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(3)圖(1)中“∠4+∠5+∠6”是三角形ABC的內(nèi)角和,圖(2)中“∠5+∠6+∠7+∠8”是四邊形的內(nèi)角和.
①如圖(3),∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,則這個(gè)五邊形的內(nèi)角和為
 

②如圖(4),∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°,則這個(gè)六邊形的內(nèi)角和為
 

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1-
2-5x
3
<x②

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