Question

如圖，點(diǎn)A、B在圓O上，△OAB是等邊三角形，延長(zhǎng)OA到C，使得AC=OA，連接BC．在圓O上是否存在一點(diǎn)D，使得BD=BC？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：存在型

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠OBA=∠OAB=60°，AB=OA，易得AB=AC，則∠C=∠ABC=30°，所以∠OBC=90°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得BC=

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OB；過B點(diǎn)作直徑BE，在⊙O上取點(diǎn)D，使∠DBE=30°，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠D=90°，則DE=

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BE=OB，BD=

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DE=

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OB，所以BD=BC；點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)E′也滿足BD′=BC．

解答：解：存在．
∵△OAB是等邊三角形，
∴∠OBA=∠OAB=60°，AB=OA，
而AC=OA，
∴AB=AC，
∴∠C=∠ABC=30°，
∴∠OBC=90°，
∴BC=

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OB，
過B點(diǎn)作直徑BE，在⊙O上取點(diǎn)D，使∠DBE=30°，如圖，
∵BE為直徑，
∴∠BDE=90°，
∴DE=

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BE=OB，
∴BD=

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DE=

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OB，
∴BD=BC，
點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)E′也滿足BD′=BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和圓周角定理．