Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）已知拋物線過A、B兩點，可將兩點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）可根據(jù)（1）的函數(shù)解析式得出拋物線的對稱軸，也就得出了M點的坐標(biāo)，由于C是拋物線與y軸的交點，因此C的坐標(biāo)為（0，3），根據(jù)M、C的坐標(biāo)可求出CM的距離．然后分三種情況進行討論：
①當(dāng)CP=PM時，P位于CM的垂直平分線上．求P點坐標(biāo)關(guān)鍵是求P的縱坐標(biāo)，過P作PQ⊥y軸于Q，如果設(shè)PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的長，可根據(jù)M的坐標(biāo)得出，CQ=3-x，因此可根據(jù)勾股定理求出x的值，P點的橫坐標(biāo)與M的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為x，由此可得出P的坐標(biāo)．
②當(dāng)CM=MP時，根據(jù)CM的長即可求出P的縱坐標(biāo)，也就得出了P的坐標(biāo)（要注意分上下兩點）．
③當(dāng)CM=CP時，因為C的坐標(biāo)為（0，3），那么直線y=3必垂直平分PM，因此P的縱坐標(biāo)是6，由此可得出P的坐標(biāo)；

解答：解：（1）由題知：

a+b+3=0 9a-3b+3=0

解得：

a=-1 b=-2

∴所求拋物線解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）∵拋物線解析式為：y=-x²-2x+3，
∴其對稱軸為x=

-2

2

=-1，
∴設(shè)P點坐標(biāo)為（-1，a），當(dāng)x=0時，y=3，
∴C（0，3），M（-1，0）
①當(dāng)CP=PM時，（-1）²+（3-a）²=a²，解得a=

5

3

，
∴P點坐標(biāo)為：P₁（-1，

5

3

）；
②當(dāng)CM=PM時，（-1）²+3²=a²，解得a=±

10

，
∴P點坐標(biāo)為：P₂（-1，

10

）或P₃（-1，-

10

）；
③當(dāng)CM=CP時，由勾股定理得：（-1）²+3²=（-1）²+（3-a）²，解得a=6，
∴P點坐標(biāo)為：P₄（-1，6）
綜上所述存在符合條件的點P，其坐標(biāo)為P（-1，

10

）或P（-1，-

10

）或P（-1，6）或P（-1，

5

3

）；

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合知識，要注意的是（2）中，不確定等腰三角形哪條邊是底邊的情況下，要分類進行求解，不要漏解．