Question

如圖（1），等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P由點(diǎn)B開(kāi)始沿BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C后停止運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q由點(diǎn)C開(kāi)始沿C-A-B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B后停止運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)P，Q同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）（t＞0）．
（1）當(dāng)t=4秒時(shí)，指出點(diǎn)P，Q的位置．
（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△PCQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍．
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在CA邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在某個(gè)時(shí)刻t，使得△PCQ為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）當(dāng)點(diǎn)Q在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在某個(gè)時(shí)刻t，使得四邊形AQPC為等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）先根據(jù)速度公式計(jì)算出當(dāng)t=4秒時(shí)PB和CQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為8判斷點(diǎn)P，Q的位置；
（2）分兩種情況討論：當(dāng)0＜t≤4時(shí)，作QD⊥BC于D，如圖1，則BP=t，PC=8-t，CQ=2t，在Rt△CDQ中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到DC=

1

2

CQ=t，
QD=

3

CD=

3

t，然后根據(jù)三角形面積公式得到S=

1

2

QD•PC=-

3

2

t²+4

3

t；
②當(dāng)4＜t＜8，作QD⊥BC于D，如圖2，則BP=t，PC=8-t，AQ+AC=2t，BQ=16-2t，在Rt△BDQ中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BD=

1

2

BQ=8-t，
QD=

3

BD=

3

（8-t），然后根據(jù)三角形面積公式得到S=

1

2

QD•PC=

3

2

t²-8

3

t+32

3

；
（3）分類(lèi)討論：當(dāng)∠PQC=90°時(shí)，PC=8-t，CQ=2t，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到PC=2CQ，則8-t=2•2t，然后解方程求出t；   
當(dāng)∠CPQ=90°時(shí)，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CQ=2PC，則2t=2•（8-t），然后解方程求出t；   
（4）由于當(dāng)PQ∥AC時(shí)，四邊形AQPC為梯形，加上∠A=∠C=60°，于是可判斷此時(shí)四邊形AQPC為等腰梯形，得到△BPQ為等邊三角形，所以BQ=BP，則16-2t=t，然后解方程求出t的值．

解答：解：（1）當(dāng)t=4秒時(shí)，PB=4×1=4，CQ=4×2=8，
而等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為8，
所以點(diǎn)P為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A；
（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0＜t≤4時(shí)，作QD⊥BC于D，如圖1，
BP=t，PC=8-t，CQ=2t，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠C=60°，
在Rt△CDQ中，DC=

1

2

CQ=t，
∴QD=

3

CD=

3

t，
∴S=

1

2

QD•PC=

1

2

•

3

t•（8-t）=-

3

2

t²+4

3

t，
即△PCQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=-

3

2

t²+4

3

t（0＜t≤4）；
②當(dāng)點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即4＜t＜8，作QD⊥BC于D，如圖2，
BP=t，PC=8-t，AQ+AC=2t，則BQ=16-2t，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BDQ中，BD=

1

2

BQ=

1

2

（16-2t）=8-t，
∴QD=

3

BD=

3

（8-t），
∴S=

1

2

QD•PC=

1

2

•

3

（8-t）•（8-t）=

3

2

t²-8

3

t+32

3

，
即△PCQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=

3

2

t²-8

3

t+32

3

（4＜t＜8）；
（3）存在．PC=8-t，CQ=2t，
①當(dāng)∠PQC=90°時(shí)，
∵∠C=60°，
∴∠CPQ=30°，
∴PC=2CQ，即8-t=2•2t，解得t=1.6；   
②當(dāng)∠CPQ=90°時(shí)，則CQ=2PC，即2t=2•（8-t），解得t=4；   
綜上所述，當(dāng)t=1.6或4秒時(shí)，△PCQ為直角三角形；
（4）存在．
當(dāng)PQ∥AC時(shí)，四邊形AQPC為梯形，
∵∠A=∠C=60°，
∴此時(shí)四邊形AQPC為等腰梯形，
∴△BPQ為等邊三角形，
∴BQ=BP，即16-2t=t，解得t=

16

3

，
即當(dāng)t=

16

3

秒時(shí)，四邊形AQPC為等腰梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、等腰梯形的判定定理；會(huì)運(yùn)用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和三角形面積公式進(jìn)行幾何計(jì)算；會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題；學(xué)會(huì)解決有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題．