Question

【題目】如圖，過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）的拋物線y=﹣x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．

（1）求拋物線解析式；

（2）求拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）若拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P使S△PCB=3S△POC，求此時(shí)DP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；

（3）DP的長(zhǎng)為1或5．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得解析式；

（2）把拋物線解析式化成頂點(diǎn)式，即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）求出△POC的面積，由三角形的面積關(guān)系得出PF=3，求出直線BC的解析式，得出F的坐標(biāo)，再分兩種情況討論，即可得出DP的長(zhǎng)．

試題解析：（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，

解得：b=2，c=3，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；

（3）設(shè)BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)F，如圖所示：

則點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為1，

∵y=﹣x2+2x+3，

當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴OC=3，∴△POC的面積=×3×1=，

∵△PCB的面積=△PCF的面積+△PBF的面積=PF（1+2）=3×，解得：PF=3，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+a，則，解得：a=3，k=﹣1，∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

當(dāng)x=1時(shí)，y=2，

∴F的坐標(biāo)為（1，2），∴EF=2，

當(dāng)點(diǎn)P在F的上方時(shí)，PE=PF+EF=5，∴DP=5﹣4=1；

當(dāng)點(diǎn)P在F的下方時(shí)，PE=PF﹣EF=3﹣2=1，∴DP=4+1=5；

綜上所述：DP的長(zhǎng)為1或5．