Question

小華利用院子里兩面夾角為135°足夠長(zhǎng)的墻作為邊，修建一個(gè)形狀為直角梯形的花園ABCD（如圖所示），已知AD∥BC，∠B=90°，設(shè)AB=x，且AB＜BC，其余兩邊用10米長(zhǎng)的建筑材料修建，恰好用完．
（1）求梯形ABCD面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？并求出最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）先過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，則四邊形ADBE為矩形，得出DE=AB=x，再證明△DEC是等腰直角三角形，得出EC=10-x，BC=10-2x，然后根據(jù)梯形的面積公式即可求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)AB＞0，AD＞0，即可求出自變量x的取值范圍；
（2）由（1）可知S是x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)直接求解．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，則四邊形ADBE為矩形，DE=AB=x，∠ADE=∠DEB=90°，
則∠CDE=∠ADC-∠ADE=45°，
在直角△CDE中，
又∵∠DEC=90°，
∴∠C=45°，
∴CE=DE=x，
∵BC=10-AB=10-x，
∴BE=BC-CE=10-2x，
∴AD=BE=10-2x，
∴梯形ABCD面積S=

1

2

（AD+BC）•AB=

1

2

（10-2x+10-x）•x=-

3

2

x²+10x，
∵

x＞0 10-2x＞0

，
∴0＜x＜5．
故梯形ABCD面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為S=-

3

2

x²+10x（0＜x＜5）；

（2）∵S=-

3

2

x²+10x（0＜x＜5），-

3

2

＜0，
∴S有最大值，
∴當(dāng)x=-

b

2a

=

10

3

時(shí)，S_最大=

4ac-b2

4a

=

0-102

4×(- 3 2 )

=

50

3

．
故當(dāng)x為

10

3

時(shí)，S有最大值

50

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形的性質(zhì)及二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找到兩個(gè)變量S與x之間的函數(shù)關(guān)系．