Question

閱讀材料：設(shè)方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

．根據(jù)該材料填空：若關(guān)于x的一元二次方程x²-（n+2）x-2n²=0的兩根記作a_n、b_n（n為不小于2的整數(shù)），則

1

(a2-2)(b2-2)

+

1

(a3-2)(b3-2)

+…+

1

(an-2)(bn-2)

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：首先根據(jù)兩根與方程系數(shù)之間的關(guān)系求得a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，然后由

1

(an-2)(bn-2)

=-

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）找到規(guī)律原式=-

1

2

（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）=-

1

2

（

1

2

-

1

n+1

）=-

n-1

4(n+1)

．

解答：解：∵關(guān)于x的一元二次方程x²-（n+2）x-2n²=0的兩根記作a_n、b_n（n為不小于2的整數(shù)），
∴a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，
∴

1

(an-2)(bn-2)

=

1

anbn-2(an+bn)+4

=

1

-2n2-2n

=-

1

2

•

1

n(n+1)

=-

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

(a2-2)(b2-2)

+

1

(a3-2)(b3-2)

…+

1

(an-2)(bn-2)

=-

1

2

（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）=-

1

2

（

1

2

-

1

n+1

）=-

n-1

4(n+1)

；
故答案是：-

n-1

4(n+1)

．

點(diǎn)評：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．