Question

如圖，AB是圓O的直徑，O為圓心，AD、BD是半圓的弦，且∠PDA=∠PBD．延長PD交圓的切線BE于點E
（1）判斷直線PD是否為⊙O的切線，并說明理由；
（2）如果∠BED=60°，PD=3，求PA的長．
（3）將線段PD以直線AD為對稱軸作對稱線段DF，點F正好在圓O上，如圖2，求證：四邊形DFBE為菱形．

Answer 1

考點：切線的判定,菱形的判定

專題：

分析：（1）連接OD，由AB是圓O的直徑可得∠ADB=90°，進而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直線PD為⊙O的切線；
（2）求出∠P=30°，解直角三角形求出OD，根據(jù)含30°角直角三角形求出即可；
（3）根據(jù)折疊和已知求出∠P=∠PBF，根據(jù)平行線的判定推出DE∥BF，求出DF⊥AB，BE⊥AB，推出DF∥BE，求出ED=EB，根據(jù)菱形的判定推出即可．

解答：（1）直線PD為⊙O的切線，理由是：
如圖1，連接OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
又∵DO=BO，
∴∠BDO=∠PBD
∵∠PDA=∠PBD，
∴∠BDO=∠PDA，
∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，
∵點D在⊙O上，
∴直線PD為⊙O的切線；

（2）解：∵BE為⊙O切線，
∴∠PBE=90°，
∵∠BED=60°，
∴∠P=30°，
在Rt△PDO中，∠PDO=90°，PD=3，
∴OD=PD×tan30°=3×

3

3

=

3

，
∴PO=2OD=2

3

，
∴PA=PO-OA=2

3

-

3

=

3

；

（3）證明：如圖2，依題意得：∠ADF=∠PDA，∠APD=∠AFD，
∵∠PDA=∠PBD，∠ADF=∠ABF，∠PAD=∠DAF，
∴∠ADF=∠AFD=∠BPD=∠ABF，
∴AD=AF，BF∥PD，
∴DF⊥PB，
∵BE為切線，
∴BE⊥PB，
∴DF∥BE，
∴四邊形DFBE為平行四邊形，
∵PE、BE為切線，
∴BE=DE，
∴四邊形DFBE為菱形．

點評：本題考查了切線的性質和判定，菱形的判定，平行線的判定，含30度角的直角三角形性質，解直角三角形的應用，本題是一道綜合性的題目，是中檔題，難度較大．