Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/s，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC交DC于點(diǎn)E，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向，在射線CB上勻速運(yùn)動(dòng)，速度是2cm/s，連接PQ、QE，PQ與AC交與點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜8）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PFCE是平行四邊形；
（2）設(shè)△PQE的面積為s（cm²），求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使得△PQE的面積為矩形ABCD面積的

9

32

；
（4）是否存在某一時(shí)刻t，使得點(diǎn)E在線段PQ的垂直平分線上．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）四邊形PFCE是平行四邊形則PD=CQ，據(jù)此即可得到關(guān)于t的方程，即可求解；
（2）用t表示出PD、EC、DE、CQ的長(zhǎng)，則四邊形DPQC、△PDE以及△QCE的面積可用t表示，則進(jìn)一步表示出△PQE的面積，從而得到函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)△PQE的面積為矩形ABCD面積的

9

32

即可列方程求解；
（4）點(diǎn)E在線段PQ的垂直平分線上，則PE=QE，然后根據(jù)勾股定理表示出PE²和QE²，即可列方程求得t的值．

解答：解：（1）PD=8-t，CQ=2t，
根據(jù)題意得：8-t=2t，
解得：t=

8

3

；

（2）S_{四邊形PDCQ}=

1

2

（PD+CQ）•CD=

1

2

×6（8-t+2t）=3t（8+t）=3t²+24t，
∵PE∥AC，
∴

PD

AD

=

DE

DC

，
∴

8-t

8

=

DE

6

，
則DE=-

3

4

t+6，
則EC=6-（-

3

4

t+6）=

3

4

t，
則S_△PDE=

1

2

PD•DE=

1

2

（8-t）•（-

3

4

t+6），
S_△CQE=

1

2

CQ•EC=

1

2

×2t•

3

4

t=

3

4

t²，
則s=3t²+24t-

1

2

（8-t）•（-

3

4

t+6）-

3

4

t²，
即s=

15

8

t²+30t-24；

（3）S_矩形ABCD=6×8=48，
根據(jù)由題意得：

15

8

t²+30t-24=

9

32

×48，即t²+16t-20=0，
解得：t=2

21

-8或-2

21

-8（舍去）．
則t=2

21

-8；

（4）在直角△PDE中，PD²=（8-t）²+（-

3

4

t+6）²，
在直角△COQ中，QE²=（2t）²+（

3

4

t）²，
當(dāng)點(diǎn)E在線段PQ的垂直平分線上時(shí)，PD²=QE²，
則（8-t）²+（-

3

4

t+6）²=（2t）²+（

3

4

t）²，
解得：t=

-25+5 73

6

或

-25-5 73

6

（舍去）．
則t=

-25+5 73

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線分線段成比例定理，以及勾股定理，正確解方程是解決本題的關(guān)鍵．