Question

如圖，在⊙O中直徑AB垂直于弦CD（CD為非直徑弦）有一直線m經(jīng)過點(diǎn)B，且繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)交直線CD于E，交⊙O于P（P與D、B不重合）．
（1）當(dāng)直線BP如圖1中的位置，試證明：①∠DPB=∠BDC，②BD²=BE•BP；
（2）當(dāng)直線BP繞點(diǎn)B的旋轉(zhuǎn)過程中，第（1）問的兩個(gè)結(jié)論中有一個(gè)會(huì)出現(xiàn)不成立的情況，請(qǐng)你先畫出該情況下的圖形，再將不成立的那個(gè)等式給予糾正（也用等式表示），并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用垂徑定理及推論得出

BC

=

BD

，以及利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案即可；
（2）利用圓周角定理以及其推論得出∠C所對(duì)的弧是

BD

，∠DPB所對(duì)的弧為

BCD

，

BD

+

BCD

剛好是一個(gè)圓，進(jìn)而得出答案．

解答：（1）證明：連接BD，
∵直徑AB⊥CD，
∴

BC

=

BD

，
∴∠BDC=∠BPD，
又∵∠DBP=∠EBD，
∴△PBD∽△DBE，
∴∠DPB=∠BDC，
∴

BD

BE

=

PB

DB

，
∴BD²=BE×PB；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在CD延長(zhǎng)線上時(shí)，上問中結(jié)論①不成立，
正確的關(guān)系式是：∠BDC+∠DPB=180°，
證明：連接BC，BD，
∵∠C=∠BDC，

BC

=

BD

，
∴∠C所對(duì)的弧是

BD

，∠DPB所對(duì)的弧為

BCD

，

BD

+

BCD

剛好是一個(gè)圓，
∴∠C+∠DPB=180°，
即∠BDC+∠DPB=180°．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及圓周角定理以及推論和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△PBD∽△DBE是解題關(guān)鍵．