Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是梯形，OA∥BC，點A的坐標為（6，0），點B的坐標為（3，4），點C在y軸的正半軸上．動點M在OA上運動，從O點出發(fā)到A點；動點N在AB上運動，從A點出發(fā)到B點．兩個動點同時出發(fā)，速度都是每秒1個單位長度，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨即停止，設(shè)兩個點的運動時間為t（秒）．
（1）求線段AB的長；
（2）當t為何值時，MN∥OC？
（3）設(shè)△CMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）過點B作BH⊥OA于H，如圖1，在Rt△AHB中運用勾股定理就可求出線段AB的長．
（2）過點B作BH⊥OA于H，如圖2，易證△AMN∽△AHB，然后運用相似三角形的性質(zhì)就可求出t的值．
（3）過點B作BH⊥OA于H，過點N作ND⊥OA于D，如圖3，則有AH=3，OC=BH=4，AB=5，OM=AN=t．易證△ADN∽△AHB，利用相似三角形的性質(zhì)可得AD=

3t

5

，DN=

4t

5

，進而有MD=6-

8t

5

，OD=6-

3t

5

，然后運用割補法得到S=S_△CMN=S_梯形CODN-S_△COM-S_△MDN=

1

2

（4+

4t

5

）•（6-

3t

5

）-

1

2

×4t-

1

2

（6-

8t

5

）•

4t

5

，然后整理并配方就可解決問題．

解答：解：（1）過點B作BH⊥OA于H，如圖1．

∵點A的坐標為（6，0），點B的坐標為（3，4），
∴OA=6，OH=3，BH=4，
∴AH=3，
∴AB=

BH2+AH2

=5．
∴線段AB的長為5．

（2）過點B作BH⊥OA于H，如圖2，

∵BH⊥OA，CO⊥OA，∴BH∥OC．
∵MN∥OC，∴MN∥BH，
∴△AMN∽△AHB，
∴

AM

AH

=

AN

AB

，
∴

6-t

3

=

t

5

．
解得：t=

15

4

．
∴當t為

15

4

（秒）時，MN∥OC．

（3）過點B作BH⊥OA于H，過點N作ND⊥OA于D，如圖3，

則有AH=3，OC=BH=4，AB=5，OM=AN=t．
∵BH⊥OA，ND⊥OA，
∴BH∥ND．
∴△ADN∽△AHB，
∴

AD

AH

=

DN

HB

=

AN

AB

．
∴

AD

3

=

DN

4

=

t

5

，
∴AD=

3t

5

，DN=

4t

5

．
∴MD=6-t-

3t

5

=6-

8t

5

，OD=6-

3t

5

，
∴S=S_△CMN=S_梯形CODN-S_△COM-S_△MDN
=

1

2

（4+

4t

5

）•（6-

3t

5

）-

1

2

×4t-

1

2

（6-

8t

5

）•

4t

5

=

2

5

t²-

16

5

t+12
=

2

5

（t-4）²+

28

5

，其中0≤t≤5．
∵

2

5

＞0，
∴當t=4時，S取到最小值，最小值為

28

5

．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、勾股定理等知識，用到了割補法、配方法等重要的數(shù)學方法，有一定的綜合性．