Question

5．某工廠有甲種原料360kg，乙種原料290kg，計劃用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件，已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品，需用甲種原料9kg，乙種原料3kg，可獲利潤700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4kg，乙種原料10kg，可獲利潤1200元．
（1）按要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？請你設(shè)計出來；
（2）設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品總利潤是W（元），采用哪種生產(chǎn)方案獲總利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

分析 （1）本題首先找出題中的等量關(guān)系即甲種原料不超過360千克，乙種原料不超過290千克，然后列出不等式組并求出它的解集．由此可確定出具體方案．
（2）根據(jù)題意列出W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的增減性和（1）得到的取值范圍即可求得最大利潤．

解答 解：（1）設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品（50-x）件，
根據(jù)題意有：$\left\{\begin{array}{l}{9x+4（50-x）≤360}\\{3x+10（50-x）≤290}\end{array}\right.$，
解得：30≤x≤32，
∵x為整數(shù)，
∴x30，31，32，
所以有三種方案：①安排A種產(chǎn)品30件，B種產(chǎn)品20件；
②安排A種產(chǎn)品31件，B種產(chǎn)品19件；
③安排A種產(chǎn)品32件，B種產(chǎn)品18件．

（2）設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，
那么利潤為：W=700x+1200（50-x）=-500x+60000，
∵k=-500＜0，
∴W隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=30時，對應(yīng)方案的利潤最大，W=-500×30+60000=45000，最大利潤為45000元．
∴采用方案①所獲利潤最大，為45000元．

點評 本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用及最大利潤問題；得到兩種原料的關(guān)系式及總利潤的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．