Question

【題目】如圖，∠APB，點(diǎn)C在射線PB上，PC為⊙O的直徑，在∠APB內(nèi)部且到∠APB兩邊距離都相等的所有的點(diǎn)組成圖形M，圖形M交⊙O于D，過點(diǎn)D作直線DE⊥PA，分別交射線PA，PB于E，F．

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

（2）求證：DE是⊙O的切線；

（3）如果PC=2CF，且，求PE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)題目要求畫出圖形即可得到．
（2）連接OD，利用角平分線的性質(zhì)以及平行的性質(zhì)證明DE⊥OD，即可證明DE是⊙O的切線．
（3）先證明OF=2OD，推出∠OFD=30°，解直角三角形求出OD，OF，PF即可解決問題．

解：（1）如圖所示，補(bǔ)全圖形

（2）證明：連接OD．

∵DE⊥PA，

∴∠PED=90°．

∵依題意，PD是∠APB的角平分線，

∴∠APD=∠DPB．

∵OP=OD，

∴∠DPB =∠PDO．

∴∠APD=∠PDO．

∴AP∥OD，

∴∠ODF=∠PED=90°，

∴DE是⊙O的切線．

（3）∵PC=2CF，

∴設(shè)CF=x，那么PC=2x，OD=x．

∵∠ODF=90°，

∴在Rt△ODF中，OD=．

又∵ ，

∴OD=1，OF=2，PF=3．

∵在Rt△PEF中，∠PEF=90°，

∴．

∴．