Question

【題目】已知拋物線C：y1＝﹣x2+bx+4．

（1）如圖，拋物線與x軸相交于兩點（1﹣m，0）、（1+m，0）．

①求b的值；

②當n≤x≤n+1時，二次函數(shù)有最大值為3，求n的值．

（2）已知直線l：y2＝2x﹣b+9，當x≥0時，y1≤y2恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）b＝2；（2）或；（3）b≤4．

【解析】

（1）由根與系數(shù)的關系得出x1+x2=-b,由拋物線與x軸的交點即為方程值為0的解，再將兩個代入x1+x2=-b即可得到b的值.；
（2）需要分情況討論，當n+1≤1，即n≤0；當n≤1≤n+1，即0≤n≤1；或n≥1三種情況，分別求解即可;

（3）將y1＝﹣x2+bx+4，y2＝2x﹣b+9代入y1≤y2整理得到x2+（2﹣b）x+5﹣b≥0，題意告知對于當x≥0時x2+（2﹣b）x+5﹣b≥0恒成立，故需分下面兩種情況求解：①：△≤0，（2-b）2-4（5-b）≤0；②：△＞0，則b＞4或b＜-4，即可求解．

解：（1）﹣x2+bx+4＝0

，

b＝2；

（2）拋物線開口向下，對稱軸左側y隨x的增大而增大；對稱軸右側，y隨x的增大而減�。�

i：n+1≤1即n≤0，

當x＝n+1時，y有最大值，

，

又∵n≤0，∴，

ii：n≤1≤n+1即0≤n≤1，

當x＝1時y有最大值，

﹣12+2＜1+4＝3不成立，

iii：n≥1時，

當x＝n時，y有最大值，

，

又∵n≥1，

∴，

綜上所述：或；

（3）y1≤y2，

﹣x2+bx+4≤2x﹣b+9，

x2+（2﹣b）x+5﹣b≥0，

①：△≤0，

（2﹣b）2﹣4（5﹣b）≤0，

﹣4≤b≤4；

②：△＞0則b＞4或b＜﹣4，

i：，不成立，

ii：，

b≤2，

又∵b＞4或b＜﹣4，

∴b＜﹣4，

綜上所述b≤4．