Question

11．同學(xué)們小學(xué)學(xué)習(xí)了正方形，正方形就是四條邊都相等，四個(gè)角都是直角．如圖，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作正方形ABME和正方形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q．根據(jù)三角形相似和全等三角形的判定和性質(zhì)即可解題．

解答 解：HE=HF．
理由：過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q．
∵四邊形ABME是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°，
又∵AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP．
∵∠AGB=∠EPA=90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴AG：EP=AB：EA．
同理△ACG∽△FAQ，
∴AG：FQ=AC：FA．
∵AB=k•AE，AC=k•AF，
∴AB：EA=AC：FA=k，
∴AG：EP=AG：FQ．
∴EP=FQ．
在Rt△EPH和Rt△FQH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPH=∠FQA}\\{∠EHP=∠FHQ}\\{EP=FQ}\end{array}\right.$，
∴Rt△EPH≌Rt△FQH（AAS）．
∴HE=HF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形相似的判定以及性質(zhì)的綜合應(yīng)用，兼顧了全等三角形的證明以及全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證三角形相似是解題的關(guān)鍵．