Question

如圖1，拋物線y=nx²-11nx+24n（n＜0）與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），拋物線上另有一點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且∠BAC=90°．
（1）線段BC的長(zhǎng)為

 

；
（2）連接OA，若△OAC為等腰三角形，求n；
（3）如圖2，在（2）的條件下，將△OAC沿x軸翻折后得△ODC，點(diǎn)M為點(diǎn)A與點(diǎn)C兩點(diǎn)之間一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，過(guò)動(dòng)點(diǎn)M作垂直于x軸的直線l與CD交于點(diǎn)N．試探究：①當(dāng)MN過(guò)AC的中點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形AMCN的形狀；②當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AMCN的面積取得最大值，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)求法，解一元二次方程即可得出；
（2）利用菱形性質(zhì)得出AD⊥OC，進(jìn)而得出△ACE∽△BAE，即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出n的值；
（3）①先求出M的坐標(biāo)，判斷是否在直線OA上，然后求得直線MC與直線AN的解析式判斷它們的斜率是否相等，即可判斷四邊形的形狀；②首先求出過(guò)C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)的直線CD的解析式，進(jìn)而利用S_{四邊形AMCN}=S_△AMN+S_△CMN求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=nx²-11nx+24n （n＜0）與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：0=nx²-11nx+24n，
解得：x₁=3，x₂=8，
∴OB=3，OC=8，
∴BC=OC-OB=8-3=5；

（2）如圖2，作AE⊥OC，垂足為點(diǎn)E
∵△OAC是等腰三角形，
∴OE=EC=

1

2

×8=4，
∴BE=4-3=1，
又∵∠BAC=90°，
∴△ACE∽△BAE，
∴

AE

BE

=

CE

AE

，
∴AE²=BE•CE=1×4，
∴AE=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （4，2），
把點(diǎn)A的坐標(biāo) （4，2）代入拋物線y=nx²-11nx+24n，得n=-

1

2

，

（3）如圖2，①∵OB=3，OC=8，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為：（8，0），
∵n=-

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

11

2

x-12，
∵四邊形AODC是菱形，MN⊥x軸，且過(guò)AC的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （4，2），
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，-1），
把x=6代入y=-

1

2

x²+

11

2

x-12，得：y=3，
∴M（6，3），
∵直線OA的解析式為：y=

1

2

x，
∴M點(diǎn)在直線OA上，
∴AM∥NC，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （4，2），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，-1），
∴直線AN的解析式為：y=-

3

2

x+8，
∵C（8，0），M（6，3），
∴直線MC的解析式為：y=-

3

2

x+12，
∴AN∥MC，
∴四邊形AMCN是平行四邊形；

②如圖2，∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)M在拋物線y=-

1

2

x²+

11

2

x-12上，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為 （m，-

1

2

m²+

11

2

m-12），
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （4，2），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，-2），
則C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求直線CD的解析式為y=

1

2

x-4，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為 （m，

1

2

m-4），
∴MN=（-

1

2

m²+

11

2

m-12）-（

1

2

m-4）=-

1

2

m²+5m-8，
∴S_{四邊形AMCN}=S_△AMN+S_△CMN=

1

2

MN•CE=

1

2

（-

1

2

m²+5m-8）×4，
=-（m-5）²+9，
∴當(dāng)m=5時(shí)，四邊形AMCN的面積的最大值=9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)和四邊形面積的求法等．