Question

20．如圖所示，AB是⊙O的直徑，AM、BN是⊙O的兩條切線，D、C分別在AM、BN上，DC切⊙O于點E，連接OD、OC、BE、AE，BE與OC相交于點P，AE與OD相交于點Q，已知AD=4，BC=9，以下結(jié)論：
①⊙O的半徑為$\frac{13}{2}$；②OD∥BE； ③PB=$\frac{18}{13}$$\sqrt{13}$；④tan∠CEP=$\frac{2}{3}$．
其中正確結(jié)論有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 作DK⊥BC于K，連接OE，①錯誤，在Rt△CDK中，利用勾股定理求得DK=12，故錯誤．②正確．可以證明AQ=QE，AO=OB，由此得出結(jié)論．③正確．根據(jù)PB=$\frac{BC•OB}{OC}$計算即可．④錯誤；根據(jù)tan∠CEP=tan∠CBP=$\frac{PC}{PB}$計算即可．

解答 解：作DK⊥BC于K，連接OE．
∵AD、BC是切線，
∴∠DAB=∠ABK=∠DKB=90°，
∴四邊形ABKD是矩形，
∴DK=AB，AD=BK=4，
∵CD是切線，
∴DA=DE，CE=CB=9，
在Rt△DKC中，∵DC=DE+CE=13，CK=BC-BK=5，
∴DK=$\sqrt{D{C}^{2}-C{K}^{2}}$=12，
∴AB=DK=12，
∴⊙O半徑為6．故①錯誤，
∵DA=DE，OA=OE，
∴OD垂直平分AE，同理OC垂直平分BE，
∴AQ=QE，∵AO=OB，
∴OD∥BE，故②正確．
在Rt△OBC中，PB=$\frac{OB•BC}{OC}$=$\frac{6×9}{3\sqrt{13}}$=$\frac{18\sqrt{13}}{13}$，故③正確，
∵CE=CB，
∴∠CEB=∠CBE，
∴tan∠CEP=tan∠CBP=$\frac{PC}{BP}$=$\frac{\frac{27\sqrt{13}}{13}}{\frac{18\sqrt{13}}{13}}$=$\frac{3}{2}$，故④錯誤，
∴②③正確，
故選B．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、切線長定理、勾股定理、三角形中位線性質(zhì)、直角三角形斜邊上的高的求法等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題，熟練掌握切線長定理，屬于中考�？碱}型．