Question

如圖，直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于點A、B，點C（1，a）是直線與雙曲線y=

m

x

的一個交點，過點C作CD⊥y軸，垂足為D，且△BCD的面積為1．若在y軸上有一點E，使得以E、A、B為頂點的三角形與△BCD相似，則點E的坐標為

 

．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：直線y=kx+2與y軸交于B點，則OB=2；由C（1，a）及△BCD的面積為1可得BD=2，所以a=4，即C（1，4），再根據△BAE∽△BCD、△BEA∽△BCD兩種情形求解．

解答：解：∵CD=1，△BCD的面積為1，
∴BD=2．
∵直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于點A、B，
∴當x=0時，y=2，
∴點B坐標為（0，2）．
∴點D坐標為（O，4），
∴a=4，
∴C（1，4）．
∵直線y=kx+2過C點，
∴4=k+2，k=2，
∴直線解析式為y=2x+2．
∴點A坐標為（-1，0），B（0，2），
∴AB=

5

，BC=

5

，
當△BAE∽△BCD時，此時點E與點O重合，點E坐標為（O，0）；
當△BEA∽△BCD時，

AB

DB

=

BE

BC

，
∴

5

2

=

BE

5

，
∴BE=

5

2

，
∴OE=

1

2

，
此時點E坐標為（0，-

1

2

）．
綜上所述，當E為（0，0）或（0，-

1

2

）時以E、A、B為頂點的三角形與△BCD相似．
故答案為：（0，0）或（0，-

1

2

）．

點評：本題考查的是反比例函數的綜合題，關鍵是求交點C的坐標以及相似形中的分類討論思想，搞清楚對應關系．