Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，過點(diǎn)D作DE∥AB，交BC于E，且DE=BC，連接AC交AC于F，若∠ACB=∠CDE=30°，則圖中有幾個(gè)等腰三角形？請找出來并說明理由．

Answer 1

【答案】解：共有兩個(gè)等腰三角形，分別是△ACD，△DCF．

理由：∵DE∥AB，

∴∠DEC=∠B，

在△DCE和△CAB中，

，

∴△DCE≌△CAB，

∴CA=CD，

∴△ACD是等腰三角形，

∵∠B=90°，

∴∠DEC=90°，

∵∠ACB=∠CDE=30°，

∴∠DCE=90°﹣∠CDE=60°，

∴∠DCF=∠DCE﹣∠ACE=30°=∠CDE，

∴DF=CF，

∴△DCF是等腰三角形．

【解析】首先證明△DCE≌△CAB推出CA=CD，再證明∠FCD=∠FDC=30°即可解決問題．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等才能正確解答此題．