Question

【題目】如圖①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點B、C分別在AD、AF上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）如圖②，
i）當(dāng)△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時，線段BD與線段CF的數(shù)量關(guān)系是；直線BD與直線CF的位置關(guān)系是 ．
ii）請利用圖②證明上述結(jié)論．
（2）如圖③，當(dāng)△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，延長DB交CF于點H，若AB= ，AD=3時，求線段FC的長．

Answer 1

【答案】
（1）BD=CF,BD⊥CF
（2）如圖3，過點B作BP⊥AD于P，

由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD=45°，

在Rt△ABP中，AB= ，

∴AP=BP=1，

∴DP=AD﹣AP=2，

在Rt△BDP中，根據(jù)勾股定理得，BD= = ，

由（1）知，F(xiàn)C=BD= ．

【解析】解：（1）、i）BD=CF，BD⊥CF，

所以答案是：BD=CF，BD⊥CF；

ii）證明：如圖2，延長DB交AF于點M，交CF于點N，

在正方形ADEF中，AD=AF，∠FAD=∠CBA=90°，

在△ABD和△ACF中， ，

∴△ABD≌△ACF（SAS），

∴BD=CF，∠ADB=∠AFC，

∵∠ADB+∠AMD=90°，

∴∠ADB+∠AMD=90°，

∴∠AFC+∠AMD=90°，

∵∠AMD=∠FMN，

∴∠AFC+∠FMN=90°，

∴∠FND=90°，

∴BD⊥CF；