Question

如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，E是CD的中點，AE的延長線交BC于點F，F(xiàn)G⊥AB于點G，求證：FG²=FC•FB．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：延長AC，GF相交于點H，可得到△HCF∽△BGF，由相似的性質得到

CF

FG

=

HF

BF

，即CF•BF=FG•HF，然后只要證明FG=HF即可．

解答：證明：延長AC，GF相交于點H，
∵FG⊥AB（已知）
∴∠FGB=90°（垂直的定義）
∵∠ACB=90°（已知）
∴∠FGB=∠ACB（等量代換）
∵∠1=∠2（對頂角相等）
∴△HCF∽△BGF（兩角對應相等的兩個三角形相似）
∴

CF

FG

=

HF

BF

（相似三角形對應邊成比例）
即CF•BF=FG•HF（比例的基本性質）
∵CD⊥AB，F(xiàn)G⊥AB（已知）
∴∠4=∠5=90°（垂直的定義）
∴CD∥HG（同位角相等，兩直線平行）
∴∠3=∠H（兩直線平行，同位角相等）
∵∠3=∠H，∠6=∠6
∴△ACE∽△AHF（兩角對應相等的兩個三角形相似）
∴

AE

AF

=

CE

FH

（相似三角形對應邊成比例）
∵∠4=∠5，∠7=∠7
∴△AED∽△AFG（兩角對應相等的兩個三角形相似）
∴

AE

AF

=

DE

GF

（相似三角形對應邊成比例）
∴

CE

FH

=

DE

FG

（等量代換）
∵E是CD的中點（已知）
∴CE=DE（中點的定義）
∴FH=FG
∵CF•BF=FG•HF（已證）
∴CF•BF=FG•FG
 即FG²=FC•FB．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定方法與性質，通過作輔助線證明三角形全等，由全等三角形的對應邊成比例，列出比例式，進而得出結論．