【題目】已知等邊三角形ABC,點D是邊AC上任意一點,延長BCE,使CEAD

1)如圖1,點DAC中點,求證:DBDE;

2)如圖2,點D不是AC中點,求證:DBDE

3)如圖3,點D不是AC中點,點FBD的中點,連接AEAF,求證:AE2AF

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BD為∠ABC的角平分線,∠ABC=∠ACB60°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理證明;

2)過DEFDGAB,交BCG,證明△BDC≌△EDG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論;

3)延長AFH,使FHAF,連接DH,證明△ABF≌△HDF,得到ABHD,∠ABF=∠HDF,證明△ADH≌△ECA,得到AEAH,證明結(jié)論.

證明:(1)∵在等邊△ABC中,DAC的中點,

BD為∠ABC的角平分線,∠ABC=∠ACB60°

CDCE,

∴∠CDE=∠CED,

∵∠CDE+CED=∠ACB,

∴∠CBD=∠CED30°,

BDDE

2)過DEFDGAB,交BCG

∴∠DGC=∠ABC60°,又∠DCG60°

∴△DGC為等邊三角形,

DGGCCD

BCGCACAD,即ADBG,

ADCE,

BGCE,

BCGE

在△BDC和△EDG中,

∴△BDC≌△EDGSAS

BDDE;

3)延長AFH,使FHAF,連接DH,

在△ABF和△HDF中,

,

∴△ABF≌△HDFSAS

ABHD,∠ABF=∠HDF,

ACHD,ABDH

∴∠ADH180°﹣∠BAC120°,

在△ADH和△ECA中,

∴△ADH≌△ECASAS

AEAH,

AH2AF,

AE2AF

練習(xí)冊系列答案
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1)求拋物線的表達式;

2)過點My軸的平行線,交拋物線于點P,設(shè)線段PM的長為1,當t為何值時,1的長最大,并求最大值;(先根據(jù)題目畫圖,再計算)

3)在(2)的條件下,當t為何值時,△PAD的面積最大?并求最大值;

4)在(2)的條件下,是否存在點P,使△PAD為直角三角形?若存在,直接寫出t的值;若不存在,說明理由.

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【題目】如圖,在梯形中,,若,,,分別是梯形各邊、、的中點.

求證:四邊形平行四邊形;

當梯形滿足什么條件時,四邊形是菱形;

的條件下,梯形滿足什么條件時,四邊形是正方形.

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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,BC是⊙O的直徑,∠ABC=30°,過點B作⊙O的切線BD,與CA的延長線交于點D,與半徑AO的延長線交于點E,過點A作⊙O的切線AF,與直徑BC的延長線交于點F.

(1)求證:△ACF∽△DAE;

(2)若S△AOC=,求DE的長;

(3)連接EF,求證:EF是⊙O的切線.

【答案】(1) 見解析; (2)3 ;(3)見解析.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)圓周角定理得到BAC=90°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到ACB=60°根據(jù)切線的性質(zhì)得到OAF=90°,∠DBC=90°,于是得到D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論;

(2)根據(jù)SAOC=,得到SACF=,通過ACF∽△DAE,求得SDAE=,過AAHDEH,解直角三角形得到AH=DH=DE,由三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論;

(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OE=OF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OFG=(180°﹣∠EOF)=30°,于是得到AFO=∠GFO,過OOGEFG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OG=OA,即可得到結(jié)論.

試題解析:(1)證明:BCO的直徑,∴∠BAC=90°,∵∠ABC=30°,∴∠ACB=60°

OA=OC,∴∠AOC=60°,∵AFO的切線,∴∠OAF=90°,∴∠AFC=30°,∵DEO的切線,∴∠DBC=90°,∴∠D=∠AFC=30,∵∠DAE=ACF=120°,∴△ACF∽△DAE

(2)∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°,∴∠CAF=30°,∴∠CAF=∠AFC,∴AC=CF,∴OC=CF,∵SAOC=,∴SACF=,∵∠ABC=∠AFC=30°,∴AB=AF,∵AB=BD,∴AF=BD,∴∠BAE=∠BEA=30°,∴AB=BE=AF,∴,∵△ACF∽△DAE,∴=,∴SDAE=,過AAHDEH,∴AH=DH=DE,∴SADE=DEAH=×=,∴DE=

(3)∵∠EOF=∠AOB=120°,∴∠OEB=∠AFOAOFBOE中,∵∠OBE=∠OAF,∠OEB=∠AFO,OA=OB,∴△AOF≌△BEO,∴OE=OF,∴∠OFG=(180°﹣∠EOF)=30°,∴∠AFO=∠GFO,過OOGEFG,∴∠OAF=∠OGF=90°,在AOFOGF中,∵∠OAF=∠OGF,∠AFO=∠GFO,OF=OF,∴△AOF≌△GOF,∴OG=OA,∴EFO的切線.

型】解答
結(jié)束】
25

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為原點,四邊形ABCO是矩形,點A,C的坐標分別是A(0,2)和C(2,0),點D是對角線AC上一動點(不與A,C重合),連結(jié)BD,作DE⊥DB,交x軸于點E,以線段DE,DB為鄰邊作矩形BDEF.

(1)填空:點B的坐標為   ;

(2)是否存在這樣的點D,使得△DEC是等腰三角形?若存在,請求出AD的長度;若不存在,請說明理由;

(3)①求證:

②設(shè)AD=x,矩形BDEF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(可利用①的結(jié)論),并求出y的最小值.

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求:(1)的坐標;(2)的坐標.

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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.Rt△MPN中,∠MPN=90°,點P在AC上,PM交AB于點E,PN交BC于點F,當PE=2PF時,AP=________.

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