Question

如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=

3

x+6與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，M為y軸正半軸上一點(diǎn)，⊙M過(guò)A、B兩點(diǎn)，交x軸正半軸于點(diǎn)C，過(guò)B作x軸的平行線(xiàn)l，N點(diǎn)的坐標(biāo)為（-10，5），⊙N與直線(xiàn)l相切于點(diǎn)D．
（1）求∠ABO的度數(shù)及圓心M的坐標(biāo)；
（2）若⊙M保持不動(dòng)，⊙N以每秒1個(gè)單位的速度沿直線(xiàn)l向右平移，同時(shí)直線(xiàn)AB沿x軸負(fù)方向向左勻速平移，當(dāng)⊙N第一次與⊙M相切時(shí)，直線(xiàn)AB也恰好與⊙N第一次相切，在這個(gè)過(guò)程中，求直線(xiàn)AB每秒平移了多少個(gè)單位長(zhǎng)度？
（3）如圖（2），P為直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在y軸的左側(cè)，過(guò)P作AB的垂線(xiàn)分別交線(xiàn)段BC、x軸于Q、R兩點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為S（S在A點(diǎn)的左側(cè)），當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，BQ-AS的值是否改變？若不變，請(qǐng)求其值；若改變，請(qǐng)求其值變化的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）由直線(xiàn)AB方程可知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，在Rt△AOB中利用三角函數(shù)可求得∠ABO，設(shè)⊙M交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)N，進(jìn)一步可求得BN的長(zhǎng)度，可求得M的坐標(biāo)；
（2）由條件可求得⊙N的圓心移動(dòng)的距離，可求得其移動(dòng)的時(shí)間，進(jìn)一步求出直線(xiàn)AB移動(dòng)的距離，則可求得其平移的速度；
（3）由條件可證明CR=CQ，且∠PRS=30°，可求得PS及PR，SR的長(zhǎng)度，且可證明△ABC為等邊三角形，所以得出SA-BQ為定值．

解答：解：（1）直線(xiàn)y=

3

x+6中令x=0，可得y=6，令y=0可得x=-2

3

，
∴OA=2

3

，OB=6，
∴tan∠ABO=

AO

BO

=

3

3

，
∴∠ABO=30°，
如圖1，連接MA，則MA=MB，且OM=OB-MB=6-MA，
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AM²=AO²+（6-MA）²，
解得MA=4，則OM=2，所以M坐標(biāo)為（0，2）；

（2）N點(diǎn)坐標(biāo)為（-10，5），且D到x軸的距離等于OB，故⊙N的半徑為1，
當(dāng)⊙N與⊙M第一次相切時(shí)，即在y軸左邊與⊙M相外切，
如圖2，連接MN，過(guò)N作NE⊥x軸，過(guò)M作NE⊥NE，交于點(diǎn)E，
則由兩圓相外切可知MN=4+1=5，NE=5-2=3，由勾股定理可求得ME=4，即此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，5），
所以⊙N的移動(dòng)距離為-4-（-10）=6，其移動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，所以⊙N移動(dòng)的時(shí)間為6秒，
設(shè)直線(xiàn)AB移動(dòng)后與x軸、y軸相交于點(diǎn)A′、B′，由題意可知直線(xiàn)A′B′為兩圓的公切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為F，則FM=4，
在Rt△MFB′中，∠A′B′O=∠ABO=30°，所以MB′=2MF=8，所以O(shè)B′=2+8=10，
所以直線(xiàn)A′B′的解析式為y=

3

x+10，令y=0可得x=-

10 3

3

，所以O(shè)A′=

10 3

3

，
由（1）知OA=2

3

，所以AA′=OA′-OA=

4 3

3

，
其移動(dòng)時(shí)間為6秒，所以其速度為

4 3

3

÷6=

2 3

9

，
即求直線(xiàn)AB每秒平移了

2 3

9

個(gè)單位長(zhǎng)度；

（3）在圖1中BO⊥AC，且BO過(guò)圓心M，
∴AO=OC=2

3

=AB，且∠BAO=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=60°，AC=BC，
∵PR⊥AB，
∴∠BQC=∠CQR=30°，∠ARP=30°，
∴CR=CQ，
∴BQ=BC-CQ=AC-CR=4

3

-CR，
∵PS⊥SR，
∴PS=OB=6，
∴PR=2PS=12，
在Rt△PSR中可求得SR=6

3

，
∴SA=SR-AC-CR=6

3

-4

3

-CR=2

3

-CR，
∴BQ-SA=4

3

-CR-（2

3

-CR）=2

3

，
∴BQ-AS的值不改變，其值為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線(xiàn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，在第（2）問(wèn)中確定出直線(xiàn)AB移動(dòng)的距離是解題的關(guān)鍵，在第（3）問(wèn)中證明CQ=CR是解題的關(guān)鍵．