Question

如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著折線A→B→C的路線向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連結(jié)DP交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)BQ．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)．①求證：△ADQ≌△ABQ；
②若AP=n，當(dāng)n為何值時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的

1

6

．
（2）如圖1、2，若記點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程為x，求使得△BPQ為等腰三角形時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）①根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得出AD=AB，∠DAQ=∠BAQ，再根據(jù)AQ=AQ即可證出△ADQ≌△ABQ；
②根據(jù)S_△ADQ=

1

6

S_{正方形ABCD}，得出AQ：AC=1：3，AQ：CQ=1：2，再求出AP：CD=1：2，最后根據(jù)CD=1，求出AP=

1

2

，即可得出答案；
（2）分兩種情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，要使△BPQ為等腰三角形，則∠PBQ=∠PQB，得出2∠ADQ+∠ADQ=90°，∠ADQ=30°，即可求出AP=x=

3

3

；
②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，先求出CP=

3

3

，從而得出x=2-

3

3

．

解答：（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAQ=∠BAQ=45°，
在△ADQ和△ABQ中，

AB=AD ∠DAQ=∠BAQ AQ=AQ

，
∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；

②解：若S_△ADQ=

1

6

S_{正方形ABCD}，S_△ADQ=

1

3

S_△ACD，
則AQ：AC=1：3，AQ：CQ=1：2，
∵AB∥CD，
∴△APQ∽△CDQ，
∴AP：CD=AQ：CQ=1：2，
∵CD=1，
∴AP=

1

2

，
∴n=

1

2

，
∴當(dāng)n=

1

2

時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的

1

6

．

（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，
∵∠BPQ＞90°，要使△BPQ為等腰三角形，必須PB=PQ
∴∠PBQ=∠PQB，
∴∠APQ=2∠ABQ=2∠ADQ
∴2∠ADQ+∠ADQ=90°
∴∠ADQ=30°
∴AP=x=

3

3

；
②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，由①易知CP=

3

3

，
∴x=2-

3

3

；
綜上①②，當(dāng)x=

3

3

或2-

3

3

時(shí)，△BPQ為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了四邊形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是等腰三角形全等三角形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是綜合運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)得出有關(guān)結(jié)論，注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．