Question

8．如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，DE∥AB，交BC于E，交AC于F，DE=BC，∠CDE=∠ACB=30°．
（1）求證：△FCD是等腰三角形；
（2）若AB=3.5cm，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DEC=∠B=90°，然后在△DCE中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠DCE的度數(shù)，從而得出∠DCF的度數(shù)，在△CDF中根據(jù)等角對等邊證明出△FCD是等腰三角形；
（2）先證明△ACB≌△CDE，得出AC=CD，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．

解答 （1）證明：∵DE∥AB，∠B=90°，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°-∠CDE=60°，
∴∠DCF=∠DCE-∠ACB=30°，
∴∠CDE=∠DCF，
∴DF=CF，
∴△FCD是等腰三角形；

（2）解：在△ACB和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DEC=90°}\\{BC=DE}\\{∠ACB=∠CDE}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△CDE，
∴AC=CD，
在Rt△ABC 中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=3.5，
∴AC=2AB=7，
∴CD=7．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．